[Matematica nella storia] L'accademia di Platone e Eudosso di Cnido

Il concetto di rapporto...
Nel IV secolo a.C. ad Atene, un momento d'oro della civiltà greca, la scuola più importante era l'Accademia di Platone.
Platone (428/427-348/347 a.C.) era un «leader» degli intellettuali dell'epoca, e godeva grande fama anche da un punto di vista pedagogico, pertanto la sua Scuola era frequentata dalla migliore gioventù della città.
Sulla porta della scuola era scritto: Non entri nessuno che sia ignorante in Geometria.
La geometria era una delle cosiddette sette arti liberali: la geometria, l'aritmetica, la musica, l'astronomia, la grammatica, la retorica e la dialettica, il cui insegnamento costituiva allora, ed è stato per molti secoli, la base dell'educazione scolastica.
Platone in prima persona si occupò di matematica solo marginalmente, ma lasciò sicuramente una forte impronta culturale. A lui si deve infatti il consolidamento della netta distinzione, di scuola pitagorica, tra:
• aritmetica: studio della teoria dei numeri in quanto aventi una propria essenza e dignità, studio adatto a elevare la mente su un piano di ragionamento astratto
e
• logistica: studio delle regole di calcolo, studio adatto a chi si occupa di affari o di guerra, a chi doveva operare su oggetti concreti, fossero uomini o anfore d'olio, a chi doveva sommare, moltiplicare o suddividere.

Un'analoga suddivisione egli prevedeva per la geometria.
Dalla scuola di Atene uscirono pertanto importanti matematici con l'impronta platonica del privilegio assoluto della matematica teorica su quella applicativa.
Questo portò sicuramente a un ampliamento delle conoscenze e alla costruzione di importanti impianti teorici, ma lasciò campo libero ad esempio agli indiani e agli arabi per quanto riguarda l'aspetto certamente pratico ma fondamentale della scrittura dei numeri.

Il concetto di rapporto, per il legame che crea tra due numeri, era sicuramente molto interessante per i teorici della scuola di Atene, ma rimase sempre piuttosto indefinito in sé e per sé.
Maggiori attenzioni ebbe l'uguaglianza di due rapporti, cioè la proporzione.
Chi si dedicò in modo particolare a questi studi e ne ricavò le osservazioni più durevoli fu Eudosso di Cnido (408 - 355 a.C.), che per un certo periodo fu allievo di Platone in persona.

Prima degli studi di Eudosso per i matematici greci era difficile accettare l'esistenza di un rapporto che non si presentasse come il rapporto tra un numero intero e un altro numero intero. In questo modo, ad esempio, non era possibile considerare il rapporto tra 1 e √2 (la lunghezza del lato del quadrato, considerata come unità, e la sua diagonale).
Eudosso diede invece una rivoluzionaria definizione di rapporto perché permetteva di prendere in considerazione qualunque tipo di numero.
Si dice che due grandezze sono in rapporto tra loro quando si può trovare un multiplo dell'una che superi l'altra. Questa affermazione è generalmente nota come «Assioma di Archimede», ma è lo stesso Archimede che ne attribuisce la paternità a Eudosso.

Osservate che questa definizione elimina molte complicazioni dovute alla presenza dello 0, in quanto lo esclude come numero che possa far parte di un rapporto. Infatti nessun multiplo dello 0 può essere maggiore di un altro qualunque numero diverso da 0.

Esercizi per i ragazzi:
1) Avendo letto il testo precedente, avrete letto la differenza fra aritmetica e logistica.
Esaminate i seguenti casi e indicate per ogni situazione se ci si occupa di aritmetica o di logistica:
- il calcolo di quanto spenderò oggi per la spesa;
- lo studio delle proprietà delle operazioni;
- l'applicazione della proprietà invariantiva della divisione per semplificare i calcoli;
- il calcolo dello sconto che mi è stato fatto quando ho acquistato la bicicletta;
- lo studio delle operazioni interne agli insiemi N, Q, R.

2) Dopo aver riletto la definizione di rapporto data da Eudosso, applicatela alle seguenti coppie ordinate di numeri:
(7; 30) (12; 50) (36; 9) (42; 14)

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