[Matematica nella storia] Le prime teorie sulle proporzioni

La teoria delle proporzioni ha radici molto profonde....
Già i Babilonesi utilizzavano proporzioni per risolvere i problemi. È però da attribuire ai Pitagorici lo sviluppo di una vera e propria teoria delle proporzioni, viste da questi filosofi-matematici come relazioni puramente numeriche, mentre più tardi vennero interpretate come relazioni tra grandezze geometriche.
Pitagora visse nel VI secolo a.C. in Grecia, ma conobbe i matematici babilonesi, dai quali apprese, ad esempio, l'uso delle proporzioni.
I Pitagorici consideravano il «numero» come base di ogni cosa: ogni numero aveva un significato e influiva sulla vita delle persone, un po' come i segni zodiacali per gli astrologi.

La scuola pitagorica continuò la sua attività ancora per diversi secoli: la caratteristica di questa scuola fu la netta distinzione tra
• lo studio della teoria dei numeri in sé e per sé a cui i Pitagorici si dedicavano con passione, quasi con fanatismo, e
• lo studio delle tecniche di calcolo, che veniva chiamato logistica e di cui essi non si occuparono minimamente.

La «numerologia» è una tradizione che incuriosisce e interessa ancora oggi molte persone.
Per matematici che tenevano in tanta considerazione il numero, la proporzione, che offriva un'immagine così ricca di regolarità, era certamente molto intrigante.
Infatti, partendo da tre relazioni fondamentali, che Pitagora aveva appreso nel corso dei suoi viaggi in Mesopotamia, la scuola pitagorica si dedicò allo studio delle proporzioni fino a costruire un complesso armonico e coerente.

Le tre specie di proporzioni, che costituivano il fondamento delle teorie dei Pitagorici, possono essere così descritte, usando l'attuale linguaggio matematico.

1. PROPORZIONE ARITMETICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione aritmetica quando
b + c = a + d
ossia quando la somma dei medi è uguale a quella degli estremi.

2. PROPORZIONE GEOMETRICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione geometrica quando
a * d = b * c
ossia quando il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi.

3. PROPORZIONE ARMONICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione armonica quando
1/b + 1/c = 1/a + 1/d
ossia quando i loro reciproci sono in proporzione aritmetica.

Sulla base di queste tre proporzioni, la scuola pitagorica elaborò un sistema di dieci uguaglianze (dieci è il numero perfetto secondo i pitagorici), ognuna delle quali esprime una relazione fra tre numeri, a, b e c, quando b è un medio proporzionale tra a e c (proporzione continua).

Le dieci uguaglianze sono le seguenti:

1) a-b=b-c (proporzione aritmetica)
2) a:b=b:c (proporzione geometrica)
3) a:c=(a-b):(b-c) (proporzione armonica)
4) a:c=(b-c):(a-b) (proporzione subcontraria)
5) b:c=(b-c):(a-b)
6) a:b=(b-c):(a-b)
7) a:c=(a-c):(b-c)
8) a:c=(a-c):(a-b)
9) b:c=(a-c):(b-c)
10) b:c=(a-c):(a-b)

Nella proporzione aritmetica la relazione è di tipo quantitativo perché un estremo ha sul medio "la stessa eccedenza che il medio ha rispetto all’altro estremo."
Al contrario nella proporzione geometrica la relazione fra i termini è di natura qualitativa, poiché è "una relazione di rapporti."
Diversa da entrambe la proporzione armonica, che stabilisce l’uguaglianza del rapporto degli estremi e di quello fra la differenza dei termini più grandi e la differenza dei termini più piccoli, come esprime la formula citata.
Tale proporzione è detta armonica perché su di essa si basano i rapporti fra le corde degli strumenti musicali, rapporti che danno luogo a suoni determinati.

Alle tre proporzioni, aritmetica, geometrica e armonica, corrispondono, rispettivamente, la medietà (o media) aritmetica,
semisomma degli estremi
$b = \frac{(a+c)}{ 2}$

la medietà geometrica,
radice quadrata del prodotto degli estremi:
$b= \sqrt{ ac } $

e la medietà armonica,
quoziente ottenuto dal doppio prodotto degli estremi e dalla loro somma:
$b = \frac{2ac}{(a+c)}$

Questa interpretazione trovava appunto delle incoraggianti conferme nello studio della musica; infatti considerando i due toni che definiscono l'intervallo di ottava (do grave e do acuto) come termini estremi a e c di una proporzione, risulta che, essendo essi in rapporto di 1/2, la loro media aritmetica
è b = (2+1)/2 = 3/2
mentre la loro media armonica è
b = 2(2*1)/(2+1) = 4/3.
L'intervallo di quinta è quindi la media aritmetica tra due toni distanti di un’ottava, mentre quello di quarta ne è la media armonica.
Quanto alla proporzione geometrica, essa mette in relazione le due medie, essendo
2 : 4/3 = 3/2 : 1.

Articoli correlati per categorie