Viète, il padre dell'algebra simbolica

François Viète, o Vieta nella forma latinizzata, è una figura di primo piano nel passaggio dal Rinascimento all'età moderna. Con lui, l'algebra conquistò lo stesso rango della geometria, che fino ad allora era sinonimo di matematica.

La storia dell’Algebra si può dividere in tre periodi:
1) algebra retorica, anteriore a Diofanto di Alessandria (250 d.C.) nella quale si usa esclusivamente il linguaggio naturale, senza ricorrere ad alcun segno;
2) algebra sincopata, da Diofanto fino alla fine del XVI secolo, in cui si introducono alcune abbreviazioni per le incognite e le relazioni di uso più frequente, ma i calcoli sono eseguiti in linguaggio naturale;
3) algebra simbolica, introdotta da Viète (1540-1603), nella quale si usano le lettere per tutte le quantità e i segni per rappresentare le operazioni, si utilizza il linguaggio simbolico non solo per risolvere equazioni ma anche per provare regole generali.

François Viète nacque a Fontenay-le-Comte nel 1540 (non si conosce la data esatta) da una famiglia agiata. A 15 anni intraprese gli studi di diritto presso la celebre Università di Poitiers, dove si laureò cinque anni dopo. Cominciò a lavorare come avvocato nella stessa Fontenay-le-Comte e non tardò a dimostrare una grande abilità nell'esercizio della sua professione. Nel 1564 accettò la carica di segretario e assessore giuridico del conte Jean de Parthenay, un ricco latifondista appartenente ad una influente famiglia calvinista, e decise anche di occuparsi dell'educazione della figlia di questi, Catherine.
A questo periodo risale una delle sue opere inedite, Ad harmonicon coeleste, di cui sono giunti fino a noi soltanto quattro manoscritti. In essa viene esposta una teoria del sistema planetario basata sulle teorie di Tolomeo.
Nel 1571 fu nominato Avvocato del Parlamento di Parigi. Fu allora che entrò in contatto con importanti matematici dell'epoca, specialmente con Adriaan Van Roomen (1561-1615).
Viète lavorò come consigliere di Enrico III fino a che questi, sotto la pressione delle forze cattoliche, dovette abbandonare Parigi e stabilirsi a Tours, per cui Viète fu costretto a rifugiarsi in campagna, accolto dai suoi amici.
Quando Enrico IV salì al trono prese al suo servizio come consigliere e crittoanalista del regno.
Viète continuò a lavorare allo sviluppo dell'algebra e nel 1591 dette alle stampe la sua opera più importante: In artem analyticam isagoge (Introduzione al metodo analitico).
Nel 1602 andò in pensione raccogliendo il riconoscimento del re per il lavoro svolto al servizio della corona e morì l'anno seguente, il 23 febbraio, a Parigi.
Viète pubblicava i suoi libri, ma solo una parte dei suoi 20 scritti furono dati alle stampe. Altri videro la luce solo dopo la lettura del testamento, mentre molti di essi sono rimasti ancora oggi inediti.

Una formula che ha fatto storia
Tra i contributi più significativi di Viète c'è quello chiamato, in trigonometria, teorema del coseno.
Utilizzando il teorema di Pitagora, giunse alla formula:

$a^2= b^2+c^2-2bc \, cosA$

e alle sue formula simmetriche (permutando a, b e c) che consentono di calcolare il lato di qualsiasi triangolo conoscendo gli altri due e l'angolo tra essi compreso.

Algebra e notazione matematica
Viète dette vari contributi alla trigonometria e alla geometria, ma i suoi lavori più importanti sono quelli dedicati all'algebra, specialmente nel momento in cui passò dal calcolo con i numeri (logistica numerosa) al calcolo con i simboli (logistica speciosa).
Fino ad allora l'algebra consisteva in una serie di trucchi per risolvere casi particolari, non era un autentico metodo di ragionamento matematico. Il lavoro degli algebristi era concentrato sull'individuazione di un valore sconosciuto relativo a un problema infarcito di numeri.
Per comprendere meglio in che cosa consistette questo cambiamento, esaminiamo il seguente problema:
consideriamo un cesto in cui si trova un certo numero di mele. Aggiungiamo mele fino a triplicarne il contenuto originale. Poi diamo una mela a un amico. Andiamo ora a contare le mele che sono rimaste nel cesto e risulterà che ce ne sono 20.
Quante mele avevamo all'inizio?
Potremmo cominciare a fare dei tentativi per individuare l'incognita, oppure possiamo partire dalla risoluzione del problema e chiamare x il risultato.
Se traduciamo in un'equazione l'enunciato del problema, avremo 3x-1=20 (il numero di mele triplicato meno uno dà 20),
per cui si ha 3x = 20 + 1 = 21 e, pertanto,
x = 7.
Inoltre, ponendo che Ax - B = C, avremo individuato l'equazione generale che risolve tutti i problemi di questo tipo la cui soluzione è:

$x= \frac{ C+B }{ A}$

per cui se ci viene detto che il numero di mele nel cesto è raddoppiato, che ci hanno tolto 5 mele e che alla fine ne sono rimaste 15, potremo immediatamente affermare che nel cesto c'erano
x= 10 mele.
Anche se Viète non aveva a che fare con equazioni così semplici, lo schema mentale è molto simile a questo.
Egli cominciò con l'utilizzare una lettera per le quantità sconosciute (una vocale) e un'altra per quelle conosciute (una consonante) e portò a termine un'impostazione generale per le equazioni, dando origine così all'algebra moderna attraverso un significativo miglioramento nella notazione matematica.
Viète non scriveva in una notazione moderna come quella che abbiamo utilizzato per il problema.
Impiegava il termine in per il prodotto, racchiudeva tra parentesi graffe le espressioni che considerava dello stesso tipo e usava la parola aequale per il segno "=".
Un'espressione come:

$\frac{ ab }{c } + \frac{ cd-ax }{ f} =h$

l'avrebbe scritta nella forma:

$\frac{ a\, in \, b }{c } +{ \frac{ c \, in \, d \, - \, a \, in \, x }{ f} }\, aequale \, h$

Qui sopra due pagine esemplificative dello straordinario talento di Viète: si tratta di una sua risposta ad un celebre problema di Van Roomen che implicava la risoluzione di un'equazione di 45° grado, un'enormità per quei tempi.

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