Quadrati magici e stranezze

Un quadrato magico, (quasi) tutti sanno, è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato.

"Il quadrato magico occidentale (esistono quadrati magici islamici) preferito dal dottor Googol è quello di Albrecht Dürer, che compare in alto a destra nella sua incisione Melencolia I

Melencolia l di Albrecht Dürer (1514). Quest'opera è generalmente considerata la più complessa tra quelle di Dürer; le sue diverse valenze simboliche hanno confuso per secoli gli studiosi. Perché secondo voi l'artista ha rappresentato un quadrato magico in alto a destra? Gli studiosi credono che l'incisione mostri l'insufficienza del sapere umano per raggiungere la saggezza celeste, oppure per penetrare i segreti della natura.

Il quadrato magico 4 x 4 di Dürer, che può essere anche rappresentato come

contiene i primi 16 numeri e ha alcune affascinanti proprietà.
I due numeri centrali nella riga in basso si leggono come 1514, l'anno in cui Dürer realizzò l'incisione.
Inoltre, in verticale, in orizzontale e nelle 2 diagonali, la somma dei numeri è 34. In più, 34 è la somma dei numeri dei numeri agli angoli (16 + 13 + 4 + 1 ) e di quelli al centro (10 + 1 1 + 6 + 7). La somma dei numeri rimanenti è 68 = 2 x 34. Dürer voleva forse dirci qualcosa di particolare sul numero 34?

Mark Collins, un collega di Madison, Wisconsin, interessato tanto alla teoria dei numeri quanto all'opera di Dürer, ha studiato il quadrato di Dürer e ha trovato alcune sorprendenti caratteristiche quando ha convertito i numeri in codice binario. (Nella rappresentazione binaria, i numeri sono scritti in un sistema numerico posizionale che utilizza soltanto due cifre, 0 e 1).
Poiché i primi 16 numeri binari esadecimali cominciano con il numero 0 e terminano con 15, egli sottrae 1 da ogni elemento del quadrato magico. Sotto si può vedere il risultato:

È da notare il fatto che se la rappresentazione binaria del quadrato magico viene ruotata di 45° in senso orario intorno al suo centro in modo che il 15 sia sopra e lo 0 sotto, la struttura risultante sembra avere uno specchio piano al centro:

Per esempio, nella riga due, 0100 è l'immagine speculare di 0010. (Il dottor Googol dubita grandemente che Dürer sapesse di questa simmetria.)

Se ruotiamo il quadrato binario in senso antiorario in modo che il 12 sia in alto e il 3 in basso, e poi disegniamo uno specchio verticale immaginario al centro, vedremo una particolare inversione del sinistra-destra:

Per esempio, nella seconda fila, 0001 e 0111 sono immagini speculari inverse l'uno dell'altro.

Mark Collins ha scoperto la presenza di misteriosi esagrammi interconnessi quando i numeri pari e dispari sono connessi:

Il dottor Googol sarebbe interessato ad ascoltare chi di voi riuscirà a trovare ulteriori significati o strutture nel quadrato magico di Dürer.
Mark Collins e il dottor Googol non conoscono altri quadrati magici che abbiano le proprietà simmetriche quando convertiti in numeri binari.
Mark ha anche effettuato numerosi esperimenti convertendo questi numeri in colori e così commenta: "Io credo che il quadrato magico sia un archetipo così ricco di significati e di misticismo come lo sono I Ching. Credo sia una rappresentazione matematica e visiva dell'origami della natura - bella come un fotone di luce".
Mark suggerisce che dovreste creare altri diagrammi secondo un processo di mitosi connettendo 0 con 1, 2 e 3. Poi alzate la mano e unite 4 con 5, 6 e 7. Unite 8 con 9, 10 e 11. E ancora 12 con 13, 14 e 15."
Da La magia dei numeri, Clifford Pickover, Sfide Matematiche, vol. 4.

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