Il Triangolo di Sierpinski. Frattali

Ragazzi,
Potete scaricare il file Sierpinski.ggb oppure dopo aver cliccato sull'immagine

se la pagina si apre correttamente, osservate l'animazione.
Con il destro del mouse sullo slider a è possibile disattivare l'animazione e muovere manualmente il punto verde sullo slider stesso.
Già l'immagine qui sopra non vi ricorda forse le figure ottenute dai vostri Triangoli di Tartaglia dove avete colorato i numeri pari oppure quelli dispari? O queste immagini ottenute con Excel?
Sulle quali appunto avevo promesso di tornare...
Dunque, avete seguito bene la costruzione con GeoGebra?
Su ciascun lato del triangolo di partenza si fissa il punto medio e si uniscono i tre punti così individuati: il triangolo iniziale risulta allora diviso in quattro triangoli. Quello centrale è colorato.
Si ripete l'operazione su ciascuno dei 3 triangoli bianchi: rimangono ora 9 triangoli bianchi.
Su ognuno di essi si ripete ancora il procedimento: i triangoli bianchi sono 27.
Su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati, ripetiamo ancora: otteniamo 81 triangoli bianchi.
Su ognuno degli 81 triangoli, ripetiamo l'operazione: otteniamo .... quanti triangoli?
Si potrebbe procedere così all'infinito.
Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli bianchi si ... , cosa succede al lato di ciascuno di essi?
La figura che abbiamo ottenuto è nota come triangolo di Sierpinski.
Si tratta di una sorprendente serie di triangoli "autosomiglianti": ogni dettaglio riproduce il tutto, cioè se si ingrandisce un qualsiasi pezzo del triangolo si visualizza una figura del tutto simile a quella da cui si è partiti.
Questo invece l'ho costruito con Excel (si può scaricare Sierpinski_excel.xls):

Questa figura prende il nome dal matematico polacco Waclaw Sierpinski (1882-1969) che ne ha studiato la costruzione attorno al 1915.
Il triangolo di Sierpinski appartiene alla classe degli oggetti geometrici conosciuti come frattali. E' uno dei primi frattali della storia della matematica.
Di che si tratta?
Ah, ragazzi, quello dei frattali è un affascinante mondo!
Il termine "frattale" deriva dal latino fractus, ovvero "spezzato" (come il termine "frazione", vero?), perché la dimensione di un frattale non è intera e gli oggetti frattali hanno spesso un'apparenza "frastagliata" che non viene meno anche quando li si sottopone a successivi ingrandimenti.
Si chiamano oggetti frattali gli oggetti geometrici in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli.
Una proprietà caratteristica degli oggetti frattali è l’autosomiglianza, che abbiamo visto nel triangolo di Sierpinski, il fatto cioè che la struttura di una sua parte ricompare anche nei dettagli della parte stessa, e questo per tanti ingrandimenti quanti si vuole.
Osservate quest'altra animazione:

La figura si chiama curva di Koch.
La generazione della curva di Koch avviene grazie all'esecuzione ripetuta di un programma di istruzioni.
L'algoritmo della curva di Koch è molto semplice, consiste in un ripetizione del ciclo seguente. Partendo da un segmento di determinata lunghezza:
1. dividere il segmento in tre segmenti uguali;
2. cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero;
3. tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti.
Partendo da un segmento, se ne ottengono quindi quattro (costituenti una linea spezzata) nel primo ciclo, 4x4=16 nel secondo ciclo e così via, generando al limite un elegantissimo frattale. Ingrandendo un qualunque dettaglio del frattale si ottiene ancora lo stesso frattale: in questo consiste l'autosomiglianza dei frattali a qualunque livello di scala.
Da questo merletto poi si può ottenere il cosiddetto Fiocco di neve di Koch

C'è anche uno stretto legame tra frattali e sezione aurea.
Su questa pagina il Merletto aureo.
Osservate:

Sempre sullo stesso sito troviamo Frattali e Natura
Osservate una comune felce:

una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa.
La parte evidenziata in rosso è la copia in piccolo dell'intera foglia. La parte evidenziata in blu a sua volta è la copia ridotta della parte in rosso. Infine la parte celeste è la copia ridotta della parte blu.
Per saperne di più sui frattali segnalo ancora:
Frattali
E per approfondire il pari o dispari di Tartaglia: Pari o Dispari?
[Aggiornamento]
Da maestra Renata: I frattali con delle belle immagini di frattali costruiti con The Gipm, vari link per conoscere i frattali, costruire frattali on line e
come utilizzare The Gimp per costruire frattali.

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