Il problema dell'ubriaco

... ovvero, una passeggiata aleatoria.
Ragazzi,
QUI vi avevo detto che il Triangolo di Tartaglia riserva .... altri segreti!
Considerate questa situazione:
Un ubriaco arriva alla porta di una città a pianta quadrata, come da figura

Superata la porta, situata in uno dei vertici della cinta muraria, egli si incammina tra gli isolati, indicati dai quadratini, procedendo a caso e senza mai tornare indietro. E' come se una persona sobria si proponesse di fare una passeggiata aleatoria lungo la strada decidendo ad ogni incrocio se andare a destra o sinistra, a seconda di aver avuto testa o croce nel lancio di una moneta.
Ci poniamo le domande:
- quale probabilità ha l'ubriaco di imboccare la via giusta per tornare a casa?
- l'ubriaco ha uguale probabilità di arrivare in uno dei punti che si trovano allo stesso livello, cioè in uno degli incroci situati nella stessa riga orizzontale, per altro equidistanti dalla porta?
Questo problema è tratto da uno dei Laboratori de l'Officina matematica, ragionare con i materiali il libro che raccoglie le lezioni della più grande ricercatrice italiana di didattica della matematica, Emma Castelnuovo e documenta l'esperienza delle attività laboratoriali presso la Casa-laboratorio di Cenci.
Ed ecco l'attività:
Osserviamo i due triangoli di lettere e di numeri:

(il triangolo di numeri lo riconoscete...)
La lettera A indica la porta di accesso alla città ed è obbligata, quindi vi è un solo percorso, ma, subito dopo, vi sono due percorsi possibili, uno che porta in B e uno che porta in C: questo risulta chiaro nel triangolo di numeri.
Avanzando, da B si può andare in D o in E e da C ancora in E oppure in F.
Quindi in D e in F si arriva con un solo percorso, mentre in E portano due vie.
Al livello successivo, in G si arriva con un solo percorso, mentre in H si può giungere sia da D che da E, con tre percorsi in tutto, quello che passa per D più i due di E.
Stesso ragionamento per la lettera I ...
Nel triangolo di numeri sono indicati i percorsi che portano in ciascun punto (casi favorevoli), mentre la tabella a fianco riporta i percorsi complessivi di ogni riga (casi possibili) (la somma dei termini di ogni riga...), che raddoppiano ad ogni incrocio secondo le potenze di 2, ogni volta che la strada si biforca.
Il rapporto tra il numero dei percorsi che conducono in ciascun punto e il numero dei percorsi possibili di ogni riga ci dà la probabilità.
Così la probabilità di giungere in B = 1/2; in D = 1/4; in H = 3/8
Con questo particolare modo di procedere a caso, dove è più probabile giungere, nei punti centrali della città o in quelli periferici?
Osservate con attenzione il triangolo di numeri!
La rappresentazione grafica con istogrammi delle probabilità di raggiungere i vari punti di uno stesso livello, approssima sempre meglio una curva normale (a campana, o di Gauss) (vedi anche qui e, vi avevo detto che avremmo rincontrato Gauss... e ancora ne parleremo!) man mano che si considerano livelli con un maggior numero di percorsi possibili.
Ad esempio, al livello degli incroci M, N, O, P, Q, le probabilità corrispondenti sono rispettivamente 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 e si ha il grafico:

Nota: il laboratorio, il cui titolo completo è: "Dal "problema dell'ubriaco" alla teoria dell'evoluzione di Darwin", riportato sul testo di Emma Castelnuovo, come il titolo stesso lascia intuire, si amplia con numerose altre esperienze da poter proporre ai ragazzi ...

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