Il mistero delle cifre

Con un pizzico di ironia

Maria Chiara, Erica e Letizia (II) raccontano... già, raccontano ...

C’era una volta una classe, che aveva tanta voglia di sapere e non si arrestava mai………

Così durante la lezione di matematica ricreativa la professoressa propose a questi curiosi alunni un quesito sui numeri, che diceva:

Pensate un numero qualsiasi (es. 435), fate la somma delle cifre che lo compongono (4+3+5=12) e sottraetela al numero pensato (435- 12= 423). Non considerate una cifra qualsiasi della differenza ottenuta es. (423) e riferitemi le due cifre rimaste: io scoprirò la cifra mancante, quella che avete eliminato!

Ognuno di noi disse alla prof. le due cifre rimaste e lei miracolosamente riuscì a indovinare la cifra che effettivamente avevamo “cancellato”….

Ecco alcuni esempi:

Se ti è rimasto 35, allora hai cancellato 1

se ti è rimasto 84 allora hai cancellato 6

se ti è rimasto 97 allora hai cancellato 2.

Così dicendo Marina, Francesco, Pier Paolo, Erica e altri, intelligentemente intuirono subito il meccanismo utilizzato dalla professoressa:

- “Fa la somma delle due cifre e conta quanto le manca per arrivare a 9 o a un suo multiplo!!”

Esclamarono questi all’unisono.

La professoressa ci invitò allora a ragionare sul perché quella differenza dava senz’altro nove o un suo multiplo. Per aiutarci ci sollecitò a sfruttare semplicemente la scrittura dei numeri a base 10.

Gabriele, dopo aver attribuito alle cifre il valore di unità, decine, centinaia, propose di scrivere il numero in forma polinomiale e usò le potenze di 10. Ad esempio

326= 3*10²+2*10+6*10º cioè:

3*100+2*10+6*1

Ok, era questa la strada!

Dal numero scritto in questa forma, sottraiamo adesso la somma delle sue cifre:

3*100+2*10+6*1 - (3+2+6)

La prof ci chiese quanti 3 vedevamo in questa espressione, tante sono state le risposte date, … : ci fece notare il concetto di moltiplicazione!

La giusta risposta era 100, data da Maria Chiara, senza però considerare il 3 da sottrarre. La professoressa ci portò quindi a dire che in realtà i tre erano novantanove perché in un primo momento ne avevi cento; di conseguenza i 2 sono nove e i 6 sono zero.

A questo punto arrivammo alla seguente conclusione:

3*100+2*10+6*1 - (3+2+6) = 99*3+9*2+0*6

Per la vera conclusione però, la prof ci disse che dovevamo usare la proprietà distributiva al contrario, cosa che non avevamo ancora avuto modo di usare.

Il fattore da distribuire poteva essere il 9 !

Ecco la formula: 9*(11*3+2)

e siccome il risultato della parentesi viene moltiplicato per 9 dando origine a un numero che sarà multiplo di 9, sostituimmo ai numeri le lettere per avere una formula generale:

abc è un numero formato dalle cifre a, b e c

abc = a*100+b*10+c*1

e quindi:

a*100+b*10+c*1 - (a+b+c)

99a + 9b = 9*(11a+b).

Ed ecco come siglammo una regola. (!)

lettere in 3D realizzate con geogebra. Dalle autrici!

Attività tratta da Matematica ricreativa – Y. Perelman

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