La cicloide

Fra le "curve matematiche celebri", abbiamo incontrato le epicicloidi che,
assieme alle ipocicloidi sono casi particolari di roulette, come oggi si definisce in generale una curva descritta da un punto solidale con una curva, che rotoli senza strisciare su un'altra curva fissa.
Ancora un caso particolare di roulette è la cicloide: in questo caso la curva fissa è una retta e la curva che rotola è una circonferenza.
Storia
La cicloide fu oggetto delle meditazioni notturne di Blaise Pascal (1623 – 1662), che la descrisse nella sua Histoire de la roulette: "La roulette è una curva talmente comune, che dopo la retta e la circonferenza essa è quella più frequente; ed è spesso sotto gli occhi di tutti, tanto che c'è da stupirsi che non sia stata studiata dagli antichi...."
Galileo era stato il primo ad occuparsene, riferendosi alla cicloide parlò di una "curvità graziosissima". Nel 1640 scriveva:
"Quella linea arcuata sono più di cinquant'anni che mi venne in mente di descriverla, e la ammirai per la curvità graziosissima per adattarla agli archi di un ponte. Feci sopra di essa, e sopra lo spazio da lei e dalla sua corda compreso, diversi tentativi per dimostrare qualche passione, e parvemi in principio che tale spazio potesse essere triplo del cerchio che lo descrive; ma non fu così, benché la differenza non sia molta."
La studiarono poi padre Mersenne, Roberval, Torricelli, Fermat, Descartes.
Fu Pascal a risvegliare grande interesse per la curva proponendo diverse sfide matematiche riguardanti la cicloide (fu definita, a tal proposito, "la bella Elena" della geometria), a cui parteciparono i più grandi matematici dell'epoca: Wallis, Sluze, Fermat, Huygens, Ricci.
La cicloide dunque, "tanto bella quanto semplice da descrivere":
è definita come il luogo dei punti su una circonferenza data che rotola senza strisciare su una retta.
Clic sull'immagine e agire su Play

Questo tipo di cicloide viene detta ordinaria.
Se il punto non si trova sulla circonferenza, si ha la cicloide accorciata se il punto è interno e la cicloide allungata se il punto è al di fuori della circonferenza.
Clic per vedere il confronto tra le tre curve

Le equazioni parametriche:
x = r θ - h sin(θ)
y = r - h cos(θ)
dove r è il raggio della circonferenza e h è la distanza del punto P dal centro della circonferenza (dunque r). Perciò:
h = r - cicloide ordinaria (cerchio al centro),
h minore di r - cicloide accorciata (cerchio interno),
h maggiore di r - cicloide allungata (cerchio esterno).
I paradossi
__Relativo alla cicloide accorciata, si attribuisce ad Aristotele un paradosso:
"se il cerchio (al centro nella nostra immagine) rappresenta una ruota, ad es al livello di una strada, mentre la ruota fa un giro completo, il punto P si sposterà nel punto P', dove PP' è di lunghezza uguale alla circonferenza della ruota. Se il cerchio interno rappresenta il mozzo della ruota, e si trova all'altezza del marciapiede, nello stesso intervallo di tempo il punto (Q) si sposterà nel punto Q' lungo il marciapiede. Si può allora sostenere che QQ' rappresenta la lunghezza della circonferenza del cerchio piccolo. Le due circonferenze, quella grande e quella piccola avrebbero dunque la stessa lunghezza!"
In realtà il paradosso trova la sua spiegazione nel fatto che la ruota compie una rotazione senza strisciare, mentre il mozzo effettua un movimento composto roto-translatorio, descrivendo appunto una cicloide accorciata. E il centro del cerchio compie un moto unicamente traslatorio.
__Riguardo alla cicloide allungata, un altro paradosso:
immaginiamo una ruota di un treno che rotola sul binario senza strisciare, tranne quando il treno frena. Un punto solidale con la ruota descrive una cicloide. La ruota del treno ha anche una flangia di diametro maggiore, che garantisce l'aderenza della ruota poggiando sulla faccia interna della rotaia. I punti sulla flangia descrivono la cicloide allungata.
La curva forma dei cappi in corrispondenza alle cuspidi della cicloide ordinaria: nel descrivere la parte inferiore del cappio, i punti corrispondenti si muovono all'indietro. Di qui il paradosso che una parte del treno in ogni istante va a ritroso e ciò naturalmente mentre il treno corre veloce, e spensierato, a cento all'ora!
L'evoluta
Le rette normali per ogni punto C della cicloide passano per i suoi centri di curvatura. Costruendo l'inviluppo delle rette normali alla cicloide si ottiene la sua evoluta.
Che è ancora una cicloide..., clic:

Proprietà
Ora le proprietà fisico-matematiche della cicloide che hanno scatenato tra gli scienziati dell'epoca le più accese sfide, lanciate da Pascal.
__Un pendolo che percorre una traiettoria cicloide è isocrono (dal gr. isos = uguale e chronos = tempo), ovvero il suo periodo rimane costante indipendentemente dall'ampiezza delle sue oscillazioni.
__Una scodella di forma cicloidale è tautocrona (dal gr tautos = identico e chronos = tempo), poiché uguali oggetti (tipo sferette) poste a varie altezze del recipiente raggiungeranno il fondo nello stesso tempo.
Huygens, che su tali fenomeni si arrovellava, si accorse della loro similarità. Egli si dilettava di orologeria e capì che il pendolo circolare era isocrono soltanto per le piccole oscillazioni, mentre per la costruzione degli ingranaggi degli orologi era richiesto l'utilizzo di un pendolo che compisse qualsiasi tipo di oscillazione, indipendentemente dall'ampiezza, esattamente nello stesso tempo.
Huygens dimostrò che tale garanzia veniva data solo dalla possibilità di trasformare il pendolo circolare in un pendolo che descrivesse una cicloide.
Per costruirlo Huygens si avvalse proprio della proprietà dell'evoluta della cicloide che è ancora una cicloide, e quindi costruì due ganasce a forma di archi cicloidali rovesciati che si incontrano in una cuspide.
La scodella tautocrona
Clic

Il pendolo isocrono di Huygens.
Clic

Altra versione:

Inoltre:
la cicloide ha la proprietà brachistocrona (dal gr brachistos = più corto e chronos=tempo): infatti essa è la curva su cui un oggetto che scivola impiega meno tempo per percorrere il tragitto fra due punti dati.
I fratelli Jacques e Johann Bernoulli sembra litigarono nella ricerca della curva brachistocrona! Johann (o Jacques?) Bernoulli (1667-1748) chiamò l'arco di curva cicloide curva celerrimi descensus.
Ecco la costruzione con GeoGebra. Cliccare per seguire l'animazione:

il punto S che scorre sulla cicloide, raggiunge per primo il punto (0,0) rispetto al punto U che scorre lungo l'asse x, e per primo l'intersezione della cicloide e la semiretta su cui scorre T.

Rotazione: individua il centro e...

Sempre dopo QUESTO e QUESTO, stavolta in particolare per quanto concerne la rotazione,
ancora un'esercitazione guidata.
Si tratta di:
individuare il centro, l'ampiezza e il verso della rotazione che fa corrispondere una figura F' a una figura F.
Naturalmente con GeoGebra, seguite prima come si fa, nel filmatino.
clic sulla figura

Ora, a voi sull'applet. Clic

Dopo aver eseguito gli esercizi ....
VERO o FALSO?
1. Il centro di rotazione è sempre esterno a una figura F
2. Il centro di rotazione può coincidere con un vertice di un poligono F
3. In una rotazione R₀ il centro di rotazione è equidistante da due punti corrispondenti di F e F'
E ancora, per accertare meglio conoscenze e linguaggi ...
4. Una rotazione è una isometria diretta
5. Se F' e F si corrispondono in una rotazione, allora F' e F sono direttamente congruenti.

Disegna il vettore

Ragazzi, non prima di aver "studiato" QUI e QUI, in particolare la parte relativa alla traslazione,
ecco una piccola (facile) esercitazione. Guidata!
Con l'aiuto della nostra amica maestra Renata, che ringrazio tanto, posso pubblicare un piccolo video - tutoriale che vi mostra come operare per eseguire l'esercizio che vado a proporvi.
Disegnare, con GeoGebra, il vettore che in una traslazione di alcune figure piane fa corrispondere la figura F' alla figura F
Seguite come si fa, nel filmato. Clic sull'immagine.

Tutto chiaro?
Ora, fate voi sull'applet GeoGebra. Clic

Buon divertimento! :-)
[Aggiornamento]: ancor di più potete divertirvi con le Traslazioni con i vettori di Maestra Renata. E non trascurate di guardare il video:
Inserimento di un vettore tra due punti e traslazione con i vettori, che già avevo segnalato in un precedente post.
Renata, felice dell'interazione, scambio, continuità in verticale! :-)

La nefroide

Eh, mica trascuriamo le "nostre" curve matematiche celebri!
Dopo la cardioide, come si legge ne Le curve celebri - L.Cresci, ancora una curva del genere anatomico, in quanto prende il nome da un organo.
La nefroide
Nefroide viene infatti dal greco νεϕρος (nephros): rene, quindi a forma di rene.
L'immagine lo conferma, il vero rene però ha un solo asse di simmetria!

Come la cardioide anche la nefroide è una particolare epicicloide (a due cuspidi), cioè una curva ottenuta facendo rotolare una circonferenza su un'altra circonferenza: "... una curva descritta da un punto solidale con una curva, detta generatrice, la quale rotoli senza strisciare su un'altra curva, detta direttrice. Se la direttrice è una circonferenza e la curva generatrice un'altra circonferenza di raggio minore (r minore R), che rotola all'esterno della circonferenza fissa, si ha l'EPICICLOIDE, mentre se la circonferenza generatrice rotola all'interno si ha l'IPOCICLOIDE " (prof.ssa M.G. Grandi)
Studiata da Huygens, Jacques Bernoulli nel 1692, da Daniel Bernoulli nel 1725 e da Proctor che le diede il nome nel 1878.
L'equazione parametrica in coordinate cartesiane è:
x = a (3 cos(t) - cos(3 t))
y = a (3 sin(t) - sin(3 t))

Ecco la nefroide, epicicloide. Il luogo dei punti generato da un cerchio di raggio r₁ = a/2 che ruota esternamente a un cerchio di raggio r = a (clic per seguire la costruzione, agire sul pulsante Play)

(in questa immagine la curva ha nelle sue parametriche il segno positivo)

Ora la nefroide, inviluppo di circonferenze
Inviluppo: un modo di descrivere una curva tramite una famiglia di curve. Una famiglia di curve inviluppa una curva, se ogni elemento della famiglia è tangente alla curva.
La famiglia delle circonferenze il cui centro è un punto di una circonferenza di raggio a e tangenti ad uno dei diametri (in questo caso Ox), inviluppano la nefroide.
Clic...

La nefroide inviluppo di una corda.
La famiglia delle corde del cerchio di centro O e di raggio 2a (cerchio circoscritto alla nefroide), i cui estremi percorrano il cerchio nello stesso verso, l'uno con velocità tripla dell'altro (costruzione di Cremona), inviluppa la nefroide (clic...).

Infine, l'evoluta della nefroide, che è ancora una nefroide di dimensioni lineari dimezzate.

L'evoluta di una curva piana, in generale, si ottiene come luogo geometrico dei suoi centri di curvatura. E' anche l'inviluppo delle normali alla curva nel punto di tangenza di una retta tangente alla curva stessa. Si può notare che l'intersezione tra la tangente e la normale coincide con il punto generatore dell'epicicloide (estremo del raggio della circonferenza generatrice).
Le parametriche dell'evoluta:
x = a (3 cos(t) - cos(3 t)) / 2
y = a (3 sin(t) - sin(3 t)) / 2

Insomma... stavolta con GeoGebra direi di essermi proprio divertita! :-)