Operazioni di tipo geometrico sui numeri razionali_2

Vediamo ora, con lo stesso strumento utilizzato per suddividere un segmento in parti uguali e rappresentare numeri razionali, la costruzione del reciproco di una frazione (frazione inversa) e anche
il prodotto di una frazione per un numero intero o per un'altra frazione.

Per costruire l'inversa di una frazione, una volta costruita la frazione stessa, si traccia il segmento parallelo a partire da 1 sulla semiretta orizzontale: si ottiene la frazione inversa sulla semiretta ripartitrice.
Per riportare un numero sulla semiretta orizzontale a partire dal corrispondente numero sulla ripartitrice basta tracciare da quest’ultimo il segmento parallelo al segmento 1--1.
Clic sulla figura:

Vediamo ora come eseguire il prodotto di una frazione per un intero e per un'altra frazione.
Dopo aver rappresentato la frazione basta tracciare il segmento parallelo a partire dal punto sulla semiretta ripartitrice, che indica il fattore voluto.
Per moltiplicare per una frazione si deve prima costruire sull'orizzontale la frazione inversa di quella che rappresenta il fattore voluto, quindi sulla ripartitrice la sua inversa (appunto il fattore per cui vogliamo moltiplicare).
Noterai che per costruire 3/2 e nel caso precedente, 2/5, si è seguito un metodo leggermente diverso da quello illustrato nel primo post. Semplifica la procedura.
Clic

Operazioni di tipo geometrico sui numeri razionali

... ovvero:
come suddividere un segmento in n parti uguali
Questa attività, realizzata con geogebra, mostra come "costruire" un numero razionale mediante strumenti geometrici.
La costruzione risolve il problema della suddivisione dell'intero in n parti uguali.
Lo strumento è costituito da due semirette che hanno origine comune, ciascuna caratterizzata da una scala, non necessariamente monometrica (cioè con la stessa unità di misura).
Una semiretta, orizzontale, serve per rappresentare i numeri naturali e successivamente anche i numeri razionali; la seconda semiretta, chiamata ripartitrice, permette di suddividere in parti uguali segmenti sulla prima.
Nell'esempio riporto il metodo operativo per ripartire in 3 parti (e in 6 parti) una lunghezza assegnata, rappresentata dal segmento che ha per estremi l'origine delle semirette A e il punto D.
- Si congiunge l’estremo D con il punto sulla retta ripartitrice che indica il numero di partizioni da effettuare (nell'esempio il 3 (e il 6 )): si individua il segmento LD;
- successivamente si tracciano i segmenti paralleli al primo segmento tracciato, passanti per i punti da 1 a 3 sulla retta ripartitrice.
Clic sulla figura

Un esercizio:
Sai rappresentare con il metodo grafico proposto la frazione 4/7?

Spiegazione-approfondimento.
Il funzionamento di questo strumento è basato sul Teorema di Talete, secondo il quale:
un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali individua su queste, coppie di segmenti direttamente proporzionali. Clic qui
Paralleli sono i segmenti che uniscono la semiretta orizzontale con la semiretta ripartitrice, le trasversali sono le due semirette.
AH':H'I'= AK:KN

... e sulla similitudine dei triangoli. Vedete su questa pagina al punto: Triangoli simili...

Vedremo in successivi post come costruire con lo stesso strumento il reciproco di una frazione (frazione inversa) e anche
il multiplo di una frazione.

Enigmi di aritmetica: Dischi rotti

Ancora da
ESPERIENZA A-AH! - Martin Gardner
un rompicapo davvero carino ... :-)

DISCHI ROTTI

Bob e Helen sono appassionati di rompicapi. Il loro passatempo preferito è escogitare quesiti per mettersi alla prova.


Un giorno Bob a Helen passarono davanti a un negozio di dischi.
Bob: Hai ancora i tuoi dischi di musica country?


Helen: No, ne ho regalato la metà, più la metà di un disco, a Suzy.


Helen: Poi ho regalato la metà di quel che mi era rimasto, più la metà di un disco, a Joe.

Helen: Ora mi è rimasto soltanto un disco, e lo regalerò a te se saprai dirmi quanti dischi di musica country avevo all'inizio.


Bob era sconcertato perché non riusciva a capire a che cosa potesse servire mezzo disco.


All'improvviso gli venne un'idea, e capì che neppure un disco era stato spezzato.
Rispose alla domanda di Helen, e lei gli regalò quell'ultimo disco.
Quale intuizione ebbe Bob?

Suggerimento:

Sì, sì: è un suggerimento!
Chi spiega la soluzione? :-)
Per i ragazzi aggiornerò il post con ulteriori dritte.
[Aggiornamento] Avvio l'attività con i ragazzi.
Ragazzi, per trovare la soluzione al rompicapo rappresentiamo in un primo momento la situazione con degli schemi: un trattino (__) rappresenta un disco, mezzo trattino (_), "la metà" di un disco. Tra virgolette, perché nessun disco è stato rotto!

Riflettiamo sulla situazione finale: a Helen è rimasto 1 solo disco dopo i regali a Suzy e Joe:

Helen dice di aver regalato a Joe la metà di quel che le era rimasto, più la metà di un disco.
(mi raccomando, non facciamoci ingannare da quel "metà di un disco", ripeto, nessun disco spezzato!)
SE dunque ha regalato la metà più un mezzo (1/2), quell'unico disco che le è rimasto rappresenta la metà di quelli che aveva alla quale metà manca un mezzo (1/2):
questa è la metà dei dischi che aveva Helen prima del regalo a Joe.
Quindi, osservate ancora:
ho messo in evidenza la metà e la metà più un mezzo.
Quanti dischi aveva Helen prima di regalare a Joe?
Quanti dischi ha regalato a Joe?
La risposta, sù... è trooppo chiara!:-)

Ora, ripetiamo il ragionamento partendo dal numero di dischi che aveva Helen prima del regalo a Joe e dopo il regalo a Suzy:
dice di avere regalato a Suzy la metà (di quelli che aveva in totale) , più la metà ...
Quindi il numero di dischi dopo il regalo a Suzy, rappresenta la metà del totale, a cui manca un mezzo.
La metà del totale è dunque:

E la metà più un mezzo:

Quanti dischi ha regalato Helen a Suzy?
Quanti dischi aveva in totale inizialmente?

Un'altra riflessione importante è: la metà di qualcosa più un mezzo (1/2) può essere un numero intero!
La metà di quali numeri? .................................

Poligoni scomposti: triangolo

Il problema del Quadrato scomposto può essere esteso a tutti i poligoni regolari.
Consideriamo ad esempio un triangolo equilatero
Esso può essere così suddiviso in 3 quadrilateri congruenti:

Potete stampare, ritagliare i tre pezzi della scomposizione e provare a ricomporre il triangolo.

La scomposizione del triangolo può essere realizzata utilizzando GeoGebra. E' un buon esercizio anche per consolidare (o imparare) l'uso del programma.
Per voi, ragazzi, da scaricare un tutoriale in PDF che vi guida passo a passo nella costruzione.
Per la visualizzazione consiglio di scegliere lo zoom al 75% e di utilizzare le frecce di scorrimento pagine di Adobe Reader.
[L'ho scritto più volte sul blog, per coloro che ancora non avessero GeoGebra: si può scaricare qui.]
Realizzate il vostro geogebra, solo successivamente vi mostrerò il mio!:-)
Ragazzi, so che vi state dando da fare, ecco il "mio Geogebra": triangolo_scomposto.ggb