[Segnalazioni] Geometria e Numeri: la potenza di un polinomio

Da Gravità Zero, ho segnalato l'interessante articolo del Prof. Auci nel box sulla sidebar. Mi piace riportarlo in un post dedicato.
Il Prof. Auci dimostra, nel suo stile estremamente coinvolgente, lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio (sviluppo di Newton) e della potenza n-esima di un polinomio (sviluppo di Leibniz) , dal punto di vista geometrico e combinatorio allo stesso tempo.

Gravità Zero - Divulgazione Scientifica: GEOMETRIA E NUMERI: LA POTENZA DI UN POLINOMIO via kwout

Grazie Prof. Auci!

[Promemoria] Per la III

Ragazzi, visto che lavorate così bene...
per chi può, do l'indicazione precisa per trovare
"Area dei poligoni sul piano cartesiano"
fate clic, andate sul post e scaricate!
Poi mettevi alla prova...
Ricordate di decomprimere. Se avete difficoltà nell'apertura del file mi direte, ma provate a seguire la procedura vista a scuola! (Consenti ActiveX o simili .... se state utilizzando Explorer, con Firefox non dovreste avere problemi.
Inoltre con Explorer provate a lanciare il file lo.htm al posto di start.htm)

[AllenaMenti] Per la prova d'esame_2

Ragazzi,
ecco un altro paio di esercizi...

1) Un misurino contiene 1/5 di kg di farina.
Quanti misurini di farina sono necessari per riempire un sacchetto di 6 kg?
Risposta: _____________________
facile eh?
2) Nella figura i triangoli ABC e DEF sono congruenti con BC = EF.

Quale, fra le seguenti, è la misura dell’angolo EGC?
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
Risposta: _____________________
3) La seguente tabella esprime una relazione tra due grandezze x e y:

Quale tra le seguenti funzioni esprime la relazione tra x e y?
A. y = x
B. y = 5x– 5
C. y = x² – 8
D. y = x² – x
Risposta: _____________________

La II alle prese con i quadrati perfetti.

Scrivono, in tanti, ... i monelli di II!:-)
E' loro anche il titolo.

Le indagini sulle radici quadrate continuano. In particolare: un numero è o no un quadrato perfetto?
Per riconoscere un quadrato perfetto oltre a osservare l’ultima cifra che potrebbe essere 0, 1, 4, 5, 6, 9, la prof ci ha fatto notare che c’è anche un altro modo, quale?
Ha scritto alla lavagna: $\sqrt{ 2^2 }$ .
Ci ha chiesto: qual è la radice?
Abbiamo risposto subito: 2!
Era facile, abbiamo dato la spiegazione che l’estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.
Qualcuno ha detto che era facile perché 2²=4 e radice di 4 è 2.
Sì - ha detto la prof - ma come ho scritto il 4?
Esitazione, poi Gimmi ha detto: "sotto forma di potenza".
- E ricordate quando ci è capitato di scrivere i numeri sotto forma di potenza?
Non rispondevamo, nonostante la prof ci desse tanti indizi ... suu, dalla "cassetta degli attrezzi"....
Finalmente qualcuno: ... la scomposizione in fattori primi?
- Perfetto! - C'eravamo arrivati!
E adesso?
Altre domande: - Cosa può essere successo al 2² estraendo la radice? Diventa 2 ...
La prof ha scritto:
(sappiamo già che l'indice di radice, 2, è sottinteso)
Ma poteva servirci vederlo...
Infatti dopo un po'... discussione... : si può semplificare!
Così: = 2
Quindi, un altro modo per estrarre la radice di un numero, oltre a quello con l'algoritmo!
Era proprio così...
abbiamo proposto altri numeri, scomposti in fattori primi e scritti sotto forma di fattori sotto radice:
es: $\sqrt{ 1600 }\, =\, \sqrt{ 2^6*5^2 }\, =\, 2^3*5\,=\,40$
Ma, con le varie proposte, abbiamo scoperto che ... non tutti gli esponenti dei fattori si potevano semplificare!
per es: $\sqrt{ 180 }\,=\,\sqrt{ 2^2*3^2*5 }$
Noi volevamo semplificare solo gli esponenti del 2 e del 3, ma la prof ci ha detto: o tutti o nessuno! Per ora... (Eppoi ci ha ricordato quello che abbiamo visto nelle reazioni chimiche....H2SO4, non si può semplificare!)
Quindi ancora a riflettere...
4 = 2² è un quadrato perfetto, infatti radice di 4 = 2
1600 = $2^6*5^2 $ è un quadrato perfetto, infatti radice di 1600 = 40.
e così con altri esempi...
Il problema dell'inizio era proprio riconoscere un quadrato perfetto.
Quindi??
Ci siamo dovuti arrivare ...!
Un numero è un quadrato perfetto SE, scomposto in fattori primi, ha tutti i fattori con esponente pari. E allora possiamo semplificare con l'indice di radice.

Pensavamo di aver finito il lavoro ma la prof ha ripreso un esempio di numero in fattori sotto radice:

ci ha detto che c'era una possibilità per poter semplificare, quello che si può semplificare!
Proponevamo qualcosa?
Noi non avevamo idee...
- Eppure esiste una proprietà....
Quale poteva essere?
Un po' abbiamo tirato a indovinare, abbiamo detto commutativa... ... alla fine era la distributiva.
- Ma, cosa distribuisco???
Si distribuisce la radice ai singoli fattori, così:

e canticchiando come un motivetto che fa: la radice di un prodotto è uguale al prodotto delle radici dei singoli fattori. Man mano che cantavamo segnavamo degli archetti: sotto il prodotto, sotto il segno uguale, sotto il segno * e sotto le radici dei singoli fattori.
Quindi:
$\sqrt{ 2^4} * \sqrt{ 3}* \sqrt{ 7^2}\,=\,2^2\,*\,\sqrt{ 3}\,*\,7$
si eseguono i prodotti possibili e si può lasciare $\sqrt{ 3}$ così, indicata.
Il risultato è 28 * $\sqrt{ 3}$.

La prof poi ci ha detto la stessa cosa per la radice di un quoziente: la radice di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate del dividendo e del divisore.
$\sqrt{36:9}\, =\,\sqrt{36}\,:\,\sqrt{9}\,=\,6:3\,=\,2$
Ma come al solito la prof non si è accontentata e ci ha invitato a riflettere che questa operazione si poteva rappresentare in un altro modo.
Sottolineava il 36:9 ...
Non riuscivamo a ricordare ma alla fine Giulia D. ha risposto esattamente: si poteva scrivere sotto forma di frazione!
$\sqrt{ \frac{36 }{9 } }\, =\, \frac{ \sqrt{36} }{\sqrt{9} } \,=\, \frac{ 6 }{3 } \,=\,2$
Per un po' tutti gli altri siamo rimasti male dopo questa risposta: perché ci rendevamo conto che doveva venirci in mente!
È così con tutti questi lavori, ancora una volta abbiamo capito che niente del lavoro fatto va dimenticato ma tutto va mandato nella cassetta degli attrezzi!
E bravi Giulia G, Laura, Gimmi, AnnaLaura, Saverio, Sara, G.Andrea, Maria, Adriano! :-)