Triangoli pitagorici ... inoltre!

E sì che ci siamo occupati dei triangoli di Pitagora [e qui] e abbiamo imparato a costruire terne pitagoriche.
Ma si sa, le curiosità in matematica non finiscono mai...
Fra i triangoli pitagorici intanto, non poteva che esserci quello "divino": il più noto, quello con le misure dei lati espresse dai numeri interi 3 - 4 - 5, conosciuto dagli antichi Egizi già nel 3000 a.C.
"Plutarco, descrivendo il Triangolo Sacro, afferma che la Base di Quattro rappresenta la Materia-Iside, l'altezza di Tre rappresenta lo Spirito-Osiride, l'Ipotenusa di Cinque rappresenta il Figlio-Oro, la manifestazione. Il perimetro di tale Triangolo vale 12, le Ore della Creazione, i Segni dello Zodiaco. [...] Se raddoppiamo il Triangolo Sacro otteniamo un perimetro uguale a 14, due volte sette, la somma dei primi cinque numeri che compongono il numero π. [clic sull'immagine per la fonte; ragazzi, continuare la lettura sulla pagina]

I numeri di base del sistema decimale, ad eccezione dell'Uno e del Due che compaiono nascosti nel cerchio inscritto nel triangolo, sono generati dalla figura. Uno è il raggio, Due è il diametro, Tre e Quattro sono i cateti, cinque l'ipotenusa, Sei l'area, Sette Otto e Nove si ottengono sommando a due a due i tre lati."
Ne "Le meraviglie dei numeri" - C. Pickover, al capitolo:
"Tutto quello che avreste voluto sapere sui triangoli ma non avete osato chiedere",
dei triangoli come questo è descritta la particolarità di avere i valori dei cateti espressi da numeri consecutivi: "il triangolo 3 - 4 -5 è il primo di queste gemme esotiche. Il seguente di questo tipo è 21 - 20 - 29. Il decimo triangolo è piuttosto grande: 27304197 - 27304196 - 38613965."
Pickover chiama questi, triangoli che pregano. Descrive il metodo per calcolare la lunghezza dei lati dei triangoli che abbiano tale proprietà.
"Cominciate con 1 e moltiplicatelo per la costante $D\, =\, ( \sqrt{ 2 } +1)^2\, =\,5.828427125$
Troncate il risultato a un valore intero e moltiplicatelo di nuovo per D.
Continuate questo processo tanto a lungo quanto volete, creando una lista di numeri interi: 1, 5, 29, ... [questi costituiscono le ipotenuse]
Per ottenere i valori delle lunghezze dei cateti,
prendete uno di questi interi,
elevatelo al quadrato,
dividetelo per due e estraete poi la radice quadrata.
Le lunghezze dei due cateti si ottengono arrotondando il risultato per difetto e per eccesso."
Ecco fatto in un foglio di Excel, con il controllo pitagorico della terna (se si vuole, clic per scaricare e vedere le formule utilizzate):

Sempre Pickover assegna invece l'attributo "divino" ad altri triangoli pitagorici: quelli per i quali la somma dei cateti e l'ipotenusa siano quadrati.
"Nel 1643, il matematico francese Pierre de Fermat scrisse una lettera al suo collega Mersenne chiedendogli un triangolo pitagorico per il quale la somma dei cateti e dell'ipotenusa fossero quadrati. In altre parole, se i lati sono indicati con X, Y e Z, si deve avere:
X + Y = a²
Z = b²
X² + Y² = Z² = $b ^4$
E' difficile credere che i 3 numeri più piccoli che soddisfano queste condizioni siano :
X = 4.565.486.027.761
Y = 1. 061. 652. 293. 520
Z = 4. 687. 298. 610. 289
Il dottor Googol ha chiamato i triangoli di questo raro tipo "divini" perché soltanto un Dio poteva immaginare un'altra soluzione al problema. Perché? Risulta che il secondo triangolo sarebbe così grande che se i suoi numeri fossero rappresentati in decimetri, i cateti del triangolo supererebbero il diametro dell'orbita della Terra! [...]
Eppure oggi noi possiamo calcolare un tale triangolo. Siamo divenuti gli dei di Pitagora. Grazie al computer e alla matematica"

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