Operazione Kaprekar: mistero!

Matematica misteriosa. Un numero misterioso: il 6174!
Perché proprio 6174? Che avrà di strano? Béh, quantomeno curioso...
Scopriamolo!
Ragazzi, seguitemi:
1. Scegliete un numero di quattro cifre che non siano tutte uguali
2. Risistemate le cifre in modo da ottenere il numero più grande possibile e scrivetelo
3. Scrivete ora con le stesse cifre il numero più piccolo possibile
4. Eseguite la sottrazione tra i due numeri ottenuti: numero maggiore - numero minore
5. Con la differenza ottenuta dovete ripetere lo stesso procedimento, dal punto 2: ottenere il numero più grande e il più piccolo possibili, eseguire la sottrazione e con la differenza ottenuta, ripetere ancora...
Proviamo insieme con un esempio, per vedere che succede!
Prendiamo il numero 1998, l'anno di nascita di voi piccoli...
Il numero più grande che è possibile ottenere è 9981, il più piccolo è 1899.
Le sottrazioni saranno le seguenti. Con ciascun risultato combino le cifre secondo la regola detta.
9981 - 1899 = 8082
8820 - 288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

mmh ... ottenuto 6174
E se proviamo a continuare, l’operazione si ripete uguale all’infinito, ritornando sempre a 6174!

Vediamo ancora un esempio. Con il numero, vado proprio a caso, 3612.
Le operazioni saranno:
6321 - 1236 = 5085
8550 - 558 = 7992
9972 - 2799 = 7173
7731 - 1377 = 6354
6543 - 3456 = 3087
8730 - 378 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

di nuovo! 6174, ooh!
Ora scegliete voi a caso un qualsiasi numero di 4 cifre diverse tra loro [o che le cifre non siano tutte uguali (es. 4444 – 4444 = 0!) oppure siano tre uguali e l’unica diversa sia più grande o più piccola di un’unità (es. 3332 – 2333 = 999 oppure 7776– 6777 = 999!)], applicate il procedimento e arriverete sempre al numero 6174!
A volte si arriva al 6174 in pochissimi passaggi, anche solo due, e pare sia stato verificato che il numero massimo di passaggi sia sette.
Ah, il titolo del post.
La procedura vista è nota come operazione di Kaprekar.
Dal nome del matematico indiano Shri Dattathreya Ramachandra Kaprekar (1905 - 86), grande appassionato fin da piccolo, di numeri e matematica ricreativa. Escogitò la sua "operazione" nel 1947.
A questa pagina troviamo interessanti spiegazioni e approfondimenti. E' spiegato come il 6174 sia "l’unico numero che non cambia nell’operazione di Kaprekar – il numero misterioso è pertanto unico!"
Fra gli approfondimenti, la validità della regola anche per i numeri a tre cifre. In questo caso il numero unico di arrivo è il 495. Provate voi!
Io ho realizzato un foglio Excel per le prove sul 6174:

Vi invito a osservare con attenzione nell'esempio la colonna "differenza": i numeri 6264, 4176, 6174, che poi si ripete..., che proprietà hanno in comune? Sul file che andrete a scaricare fate ulteriori prove digitando nella cella in rosso numeri di 4 cifre a piacere. Tutte le volte osservate le differenze...
Poi vedremo insieme di arrivare, servendoci della scrittura polinomiale dei numeri a base 10, a una regoletta generale!
Scaricate 6174.xls

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