venerdì 1 maggio 2009

Problemi di massimo e di minimo ... con geogebra

... ovvero, per noi, di isoperimetria ed equiestensione.
Ragazzi,
nell'attesa del vostro racconto sui poligoni di uguale perimetro, della storia della costruzione di Cartagine ad opera della regina Didone, e di come le api siano formidabili esperte in geometria piana,
pubblico, come promesso, i lavori realizzati con geogebra sui triangoli isoperimetrici e sui triangoli equiestesi (qualcuno di voi si è ripromesso di provarci: attendo!).
Cominciamo dai primi, i triangoli isoperimetrici
Abbiamo immaginato (e dovreste farlo a casa...) la costruzione di un triangolo mobile con l'utilizzo di uno spago, il perimetro così non varia, di una data lunghezza. Abbiamo detto che occorre fissare lo spago in due punti, che costituiscono gli estremi della base del triangolo; il terzo vertice dobbiamo renderlo mobile, in maniera tale da costruire più triangoli con lo stesso perimetro ma di diverso tipo.
La discussione su come far muovere questo terzo vertice, dopo varie proposte di spezzate e di circonferenze... (e Sara che ha pensato alla versiera di Agnesi! brava Saretta ;-)), ci ha portato a farlo scorrere lungo un'orbita ellittica, come quella della terra intorno al sole e come quella degli elettroni attorno al nucleo dell'atomo [in alcuni modelli atomici...].
Con i disegni abbiamo visualizzato diversi tipi di triangoli. Si tratta di stabilire:
quale triangolo fra tutti quelli di uguale perimetro, ha l'area più grande?
Noi abbiamo trovato la risposta.
Per ...altri alunni: potete scoprirlo con geogebra!
E a tal proposito, per poter costruire con geogebra, abbiamo scoperto che esiste una curva geometrica, l'ellisse, che ha giusto la proprietà che a noi serve: la somma delle distanze di un suo punto qualsiasi da altri due punti fissi (detti fuochi dell'ellisse) è costante.
Ecco l'immagine


Si può già vedere in figura che nei triangoli, che mantengono la stessa base (i nostri due punti fissi o i fuochi dell'ellisse), a variare è l'altezza, dunque varia la loro area.
Clic sull'immagine per visualizzare il foglio dinamico. Si può fermare l'animazione agendo sul pulsante "Pause", in basso a sinistra del foglio di lavoro. E muovere manualmente il punto sullo slider per bloccare la figura al punto di area massima!

E ora i triangoli equiestesi o equivalenti.
Per studiare questi si potrebbe utilizzare un elastico, così varia il ... ?, sempre fissato su due punti, quindi con base costante, e con il terzo vertice lasciato scorrere lungo un filo rigido teso (quindi altezza costante).
Siete stati subito bravi: solo con il disegno avete detto in quale posizione l'elastico, una volta mollato, si sarebbe fermato! "Perché così è meno teso"
Insomma, avete trovato la risposta alla domanda:
quale fra i triangoli che hanno la stessa area ha il perimetro minore?
Per la risposta... qui l'immagine-geogebra,


solito clic sulla figura. L'animazione è sufficientemente lenta per verificare qual è il triangolo dal perimetro minimo!
Ecco il perché: "problemi di massimo e di minimo".
"Le due proprietà sono reciproche: possiamo, indifferentemente, considerare il minimo perimetro fra i triangoli di uguale area, o la massima area fra i triangoli di uguale perimetro"

Emma Castelnuovo, l'Officina mat3mat1ca
(alla grande studiosa di didattica della matematica Emma Castelnuovo dobbiamo le nostre attività. Sono riportate anche sul testo citato)

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13 commenti:

  1. ciao giovanna, passo per salutarti
    e per augurarti una buona serata del primo maggio, roberta.

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  2. ciao Roby,
    grazie,
    buona serata anche a te.

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  3. Notevole attività:)) Bravissimi/e.
    Sai Gio, l'anno passato, nel progetto regionale, anche noi abbiamo sviluppato questi argomenti:), coinvolgendo bambini delle classi terza e quarta. E' stata una bella esperienza. Se riesco a trovare del tempo (mannaggia, mi manca sempre) pubblicherò anch'io i prodotti.
    baci, amicamia carissima

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  4. Ciao giovanna,il tuo post capita ad hoc in quanto sto lavorando sulle figure isoperimetriche ed equiestese. Grazie e buon maggio !

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  5. Mgiòòò,
    grazie.
    eddaiii aspetto i tuoi lavori...senz'altro più belli!!:-)
    baci baci


    skip, ?
    booh... non avevo capito insegnassi! pensavo alla ...dirigenza :-)
    grazie, buon maggio anche a te.

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  6. Ho visto i file di GeoGebra (ora vado a scaricarli pure).
    La costruzione dei file con i ragazzi(ni) mi porta spesso a riflettere sull'efficacia di questo tipo di "nuova" attività, per ora vado avanti un po' alla... garibaldina, raccolgo impressioni e metto a punto aggiustamenti.
    Un bacione
    r.

    p. s. - oh, Mgio' aspetto pure io ;)

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  7. ciao Renata,
    i file geogebra: ma ti sono piaciuti???
    uffaa io aspetto sempre la tua approvazione! :-))
    scherzo (solo un po', questo perché lo sai, ammiro le TUE opere-geogebra!)
    scherzo.. ma è perché io ci ho preso un gusto matto a farli!!! (e dopo ero tutta felice come una bambina! :-))
    Tornando seri: la tua riflessione.
    Prendendo alla lettera il tuo "costruzione dei file", non so bene come interpretare...
    Se invece ti riferisci all'efficacia didattica in generale dell'attività, io posso dirti l'obiettivo che vedo promosso: cogliere varianti e invarianti in una trasformazione, in un processo dinamico. Vedere quindi le figure geo non più solo nella loro staticità.
    Quindi "matematizzare", avviarsi verso l'astratto a partire dal concreto...
    bacione a te, grazie!

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  8. Ma quando mai!!! Ogni volta che entro da te ne esco arricchita e con una chiarezza in più. Mi ha divertito il fatto che da un po' di tempo pensiamo a lavori simili:))(in un tuo commento scrivi di invarianti....evvaiiii. Non dico altro;-) )
    Buona serata domenicale, amicamiacaracara.
    Ti ho portato un mazzetto di ranuncoli colti nel prato di Renatina; lei ne ha tanti, non se la prenderà:)

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  9. wow, mgiòòò,
    grazie per i ranuncoli!:-)
    e... ma grazie per le belle parole!
    e comunque i vostri lavori non possono che essere più affascinanti, se non altro perché vi fermate di più nelle attività prettamente "laboratoriali". Io... ho sempre troppo poco tempo! :-(
    baciii

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  10. ciaooo... ho visto il lavoro dei triangoli isoperimetrici e quelli equiestesi... ho anche scaricato i file proprio belli!!! le è arrivato il lavoro sulla "costruzioni di pavimenti"??? buona notte anna laura... a martedì

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  11. AnnaLaur(etta)!
    Sì, visto ora.
    ehmmm, aggiusto qualche figura e pubblico...
    a domani!

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  12. Maria Gio', certo che puoi regalare i ranuncoli a Giovanna. Ranuncoli e margherite a entrambe anzi.

    Sulla geometria dinamica siamo d'accordo, hai citato nel post proprio la Emma Castelnuovo.
    Pensavo non solo a questo, ma anche a tutti gli autoapprendimenti che avvengono manipolando gli strumenti del software di geometria dinamica, in questo caso GeoGebra, alle riflessioni che nascono dal collaborare fra pari, insomma un contorno che rimane spesso indeterminato ma che è ricco, per lo meno tanto quanto è... nascosto.
    Ciao :)

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  13. ottima integrazione, Renata.
    concordo!
    grazie... dei fior! :-))

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