Come anticipato, vediamo come si esegue
una qualsiasi potenza del binomio: (a + b).
E nel titolo del post la nostra conoscenza cui accennavo.
Sì, per calcolare le potenze di un binomio possiamo utilizzare il Triangolo di Tartaglia. Quante proprietà e relazioni numeriche questo magico triangolo!
Ricordiamo il Triangolo con l'immagine di una sua piccola porzione
Riprendiamo però le potenze di un binomio che noi conosciamo.
Quadrato di un binomio:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Cubo di un binomio:
(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
Osserviamo bene i polinomi risultanti; essi sono ordinati (meglio abituarsi a scriverli ordinati) e completi. Ma possiamo notare due precise caratteristiche dei loro termini:
- in ogni monomio gli esponenti delle potenze di a (1° termine) decrescono e quelli delle potenze di b (2° termine) crescono; per esempio, nel quadrato:
a² , $a^1$, $a^0$ e
$b^0$, $b^1$, b²
- ogni monomio viene moltiplicato per un numero detto coefficiente. I coefficienti seguono una certa "legge di formazione" che ritroviamo ... nel Triangolo di Tartaglia!
Osserviamo i coefficienti del polinomio *quadrato di un binomio*; sono i numeri: 1, 2, 1;
osserviamo quelli del polinomio *cubo di un binomio*; sono i numeri: 1, 3, 3, 1. E, se ridate uno sguardo al Triangolo di Tartaglia ...
vediamolo così
Quadrato di un binomio:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Cubo di un binomio:
(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
Osserviamo bene i polinomi risultanti; essi sono ordinati (meglio abituarsi a scriverli ordinati) e completi. Ma possiamo notare due precise caratteristiche dei loro termini:
- in ogni monomio gli esponenti delle potenze di a (1° termine) decrescono e quelli delle potenze di b (2° termine) crescono; per esempio, nel quadrato:
a² , $a^1$, $a^0$ e
$b^0$, $b^1$, b²
- ogni monomio viene moltiplicato per un numero detto coefficiente. I coefficienti seguono una certa "legge di formazione" che ritroviamo ... nel Triangolo di Tartaglia!
Osserviamo i coefficienti del polinomio *quadrato di un binomio*; sono i numeri: 1, 2, 1;
osserviamo quelli del polinomio *cubo di un binomio*; sono i numeri: 1, 3, 3, 1. E, se ridate uno sguardo al Triangolo di Tartaglia ...
vediamolo così
La prima riga risolve (a + b) elevato 0 (zero);
la seconda riporta i coefficienti di $(a+b)^1$;
la terza riga è costituita dai coefficienti di (a + b)²
e così via...
Notate lo sviluppo della quarta potenza del binomio:
- mi suggerisce i coefficienti, il Triangolo di T.; e mi suggerisce anche che avrò 5 termini;
- il 1° termine del polinomio è la quarta potenza di a: a elevato 4 (e b elevato 0, perciò 1, elemento neutro, non compare)
- il 2° termine contiene a elevato 3 e b elevato 1
- il 3° termine contiene a elevato 2 e b elevato 2
- il 4° termine: a elevato 1 e b elevato 3
- il 5° termine: a elevato 0 e b elevato 4
Potreste ora scrivere facilmente lo sviluppo della quinta e dalla sesta potenza del binomio (a + b)
Bello no? Senza fare troppi calcoli sviluppo una qualsiasi potenza di binomio!
la seconda riporta i coefficienti di $(a+b)^1$;
la terza riga è costituita dai coefficienti di (a + b)²
e così via...
Notate lo sviluppo della quarta potenza del binomio:
- mi suggerisce i coefficienti, il Triangolo di T.; e mi suggerisce anche che avrò 5 termini;
- il 1° termine del polinomio è la quarta potenza di a: a elevato 4 (e b elevato 0, perciò 1, elemento neutro, non compare)
- il 2° termine contiene a elevato 3 e b elevato 1
- il 3° termine contiene a elevato 2 e b elevato 2
- il 4° termine: a elevato 1 e b elevato 3
- il 5° termine: a elevato 0 e b elevato 4
Potreste ora scrivere facilmente lo sviluppo della quinta e dalla sesta potenza del binomio (a + b)
Bello no? Senza fare troppi calcoli sviluppo una qualsiasi potenza di binomio!
Post
Passo un attimo per augurarti un buon week end...qui giù fa tanto caldo e stamattina ho fatto il mio primo bagno della stagione. Un caro saluto, Fabio
RispondiEliminagiovanna carissima, sono manu di diario di una prof, è tanto tempo che non abbiamo notizie reciproche. Come stai? Beh, l'a.s. volge al termine e dire "stanche" mi pare riduttivo. Ti abbraccio forte
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