La curva del cane

Ragazzi,

curiosa storiella. Anzi due storielle, per la precisione! 

Alla fine di una delle prime primavere dell’inizio del XVIII secolo, il matematico svizzero Jean Bernoulli contemplava, dalla sommità di una piccola duna, lo spettacolo delle onde che si infrangevano su una lunga spiaggia dell’oceano Atlantico.

Fu distratto dall’abbaiare di un cane che correva dietro il suo padrone. Quest’ultimo avanzava con una falcata regolare, sempre alla stessa velocità e nella medesima direzione. Il cane, un po' a sinistra del suo padrone, modificava sempre la sua traiettoria in modo che ciascuno dei suoi passi lo dirigesse verso l’estremità dell’ultimo passo del suo padrone.

Evidentemente, poiché il cane corre più veloce del padrone, lo raggiungerà prima o poi. Ma, se supponiamo che la velocità del cane sia la stessa del padrone, la traiettoria del cane risulta molto più interessante.

Si tratta della traiettoria che Bernoulli studiò sotto il nome di curva del cane.

Interessante il comportamento della curva dopo un certo tempo sufficientemente grande: si constata che il cane si avvicina sempre più alla retta M seguita dal padrone.

Si può anche constatare che il cane si avvicina sempre più al suo padrone.

Col passare del tempo l’animale è praticamente “sulla” traiettoria del padrone, a una certa distanza dietro di lui.  Si intuisce che questa distanza tra il cane e il padrone  diminuisce progressivamente tendendo a stabilizzarsi su un certo valore-limite.

Riguardo a questa curva però c’è anche una storiella diversa!

Il medico francese Claude Perrault (visse nel 1600), anatomista e architetto, fratello di Charles Perrault, il creatore di Cenerentola, Cappuccetto Rosso, Il gatto con gli stivali, divenne famoso in campo matematico in quanto un giorno, giocherellando con il suo orologio da taschino, lo piazzò in mezzo al tavolo e cominciò a tirare l’estremità della catena lungo il bordo del tavolo.

E si domandò: qual è la forma della curva che il mio bell’orologio sta descrivendo?

 

Non riuscendo a venirne a capo, passò la richiesta all’amico Leibniz e ad altri matematici. Leibniz non tardò a riconoscere che la curva cercata è caratterizzata dalla proprietà che per essa è costante il segmento di ogni tangente compreso tra il punto di contatto e l’intersezione con una retta fissa. Per questo la curva viene detta anche equitangenziale. 

Huygens, un altro matematico, si occupò a fondo della stessa curva e la chiamò tractoria, dal latino trahere, “tirare”, “trascinare”. Oggi a tractoria  si preferisce il nome di trattrice; altri usano il nome di traiettoria di Huygens.

Se al posto dell’orologio immaginiamo di avere un ... cane, al posto della catena un guinzaglio, e il padrone del cane che lo tiri lungo un percorso rettilineo, ritroviamo la curva del cane!

Clic sull’immagine per vedere la passeggiata! Su Geogebra.

(per chi fosse interessato: cliccando con il destro del mouse è possibile vedere le parametriche della curva)

Da

Addomesticare l’infinito – A. Deledicq – F. Casiro - Edizioni Kangourou Italia

e

Le Curve Matematiche tra curiosità e divertimento -  L. Cresci

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