Teorema di Pitagora: dimostrazione di Perigal

A parlare di triangoli pitagorici ...
attività didattiche si prospettano!
La dimostrazione dell'agente di cambio Perigal.
"Il matematico Martin Gardner racconta in un suo libro che nel secolo scorso un certo Henry Perigal (1801-1898), agente di borsa e astronomo dilettante, riuscì a dare una singolare dimostrazione del teorema di Pitagora.
Perigal disegnò un triangolo rettangolo qualsiasi e costruì i relativi quadrati su ogni lato.
Quindi suddivise il quadrato costruito sul cateto maggiore in quattro parti, tracciando nel suo interno due segmenti passanti entrambi per il centro del quadrato, uno dei quali parallelo e l'altro perpendicolare all'ipotenusa.
Ritagliò quindi questo quadrato secondo i segmenti tracciati; con i quattro pezzi ottenuti e con il quadrato costruito sul cateto minore riuscì a ricoprire il quadrato costruito sull'ipotenusa.
Perigal fu così orgoglioso di questa sua "dimostrazione" del Teorema di Pitagora che se la fece stampare sui biglietti da visita." [Da R. Rinaldi Carini Matematica 2 Ed. Zanichelli]
Ragazzi, dovreste costruirla anche voi!
Qui ve la propongo con i nostri mezzi: geogebra no?
Clic sull'immagine e, al lavoro! Sul foglio di lavoro troverete tutte le indicazioni.

E qui un'animazione della dimostrazione di Perigal (grazie alle dritte della mia amica Renata!):

Triangoli pitagorici ... inoltre!

E sì che ci siamo occupati dei triangoli di Pitagora [e qui] e abbiamo imparato a costruire terne pitagoriche.
Ma si sa, le curiosità in matematica non finiscono mai...
Fra i triangoli pitagorici intanto, non poteva che esserci quello "divino": il più noto, quello con le misure dei lati espresse dai numeri interi 3 - 4 - 5, conosciuto dagli antichi Egizi già nel 3000 a.C.
"Plutarco, descrivendo il Triangolo Sacro, afferma che la Base di Quattro rappresenta la Materia-Iside, l'altezza di Tre rappresenta lo Spirito-Osiride, l'Ipotenusa di Cinque rappresenta il Figlio-Oro, la manifestazione. Il perimetro di tale Triangolo vale 12, le Ore della Creazione, i Segni dello Zodiaco. [...] Se raddoppiamo il Triangolo Sacro otteniamo un perimetro uguale a 14, due volte sette, la somma dei primi cinque numeri che compongono il numero π. [clic sull'immagine per la fonte; ragazzi, continuare la lettura sulla pagina]

I numeri di base del sistema decimale, ad eccezione dell'Uno e del Due che compaiono nascosti nel cerchio inscritto nel triangolo, sono generati dalla figura. Uno è il raggio, Due è il diametro, Tre e Quattro sono i cateti, cinque l'ipotenusa, Sei l'area, Sette Otto e Nove si ottengono sommando a due a due i tre lati."
Ne "Le meraviglie dei numeri" - C. Pickover, al capitolo:
"Tutto quello che avreste voluto sapere sui triangoli ma non avete osato chiedere",
dei triangoli come questo è descritta la particolarità di avere i valori dei cateti espressi da numeri consecutivi: "il triangolo 3 - 4 -5 è il primo di queste gemme esotiche. Il seguente di questo tipo è 21 - 20 - 29. Il decimo triangolo è piuttosto grande: 27304197 - 27304196 - 38613965."
Pickover chiama questi, triangoli che pregano. Descrive il metodo per calcolare la lunghezza dei lati dei triangoli che abbiano tale proprietà.
"Cominciate con 1 e moltiplicatelo per la costante $D\, =\, ( \sqrt{ 2 } +1)^2\, =\,5.828427125$
Troncate il risultato a un valore intero e moltiplicatelo di nuovo per D.
Continuate questo processo tanto a lungo quanto volete, creando una lista di numeri interi: 1, 5, 29, ... [questi costituiscono le ipotenuse]
Per ottenere i valori delle lunghezze dei cateti,
prendete uno di questi interi,
elevatelo al quadrato,
dividetelo per due e estraete poi la radice quadrata.
Le lunghezze dei due cateti si ottengono arrotondando il risultato per difetto e per eccesso."
Ecco fatto in un foglio di Excel, con il controllo pitagorico della terna (se si vuole, clic per scaricare e vedere le formule utilizzate):

Sempre Pickover assegna invece l'attributo "divino" ad altri triangoli pitagorici: quelli per i quali la somma dei cateti e l'ipotenusa siano quadrati.
"Nel 1643, il matematico francese Pierre de Fermat scrisse una lettera al suo collega Mersenne chiedendogli un triangolo pitagorico per il quale la somma dei cateti e dell'ipotenusa fossero quadrati. In altre parole, se i lati sono indicati con X, Y e Z, si deve avere:
X + Y = a²
Z = b²
X² + Y² = Z² = $b ^4$
E' difficile credere che i 3 numeri più piccoli che soddisfano queste condizioni siano :
X = 4.565.486.027.761
Y = 1. 061. 652. 293. 520
Z = 4. 687. 298. 610. 289
Il dottor Googol ha chiamato i triangoli di questo raro tipo "divini" perché soltanto un Dio poteva immaginare un'altra soluzione al problema. Perché? Risulta che il secondo triangolo sarebbe così grande che se i suoi numeri fossero rappresentati in decimetri, i cateti del triangolo supererebbero il diametro dell'orbita della Terra! [...]
Eppure oggi noi possiamo calcolare un tale triangolo. Siamo divenuti gli dei di Pitagora. Grazie al computer e alla matematica"

Il Sistema numerico come la vita umana

Rileggendo un romanzo...

___"Sai cosa c'è alla base della matematica?" dico. "Alla base della matematica ci sono i numeri. Se qualcuno mi chiedesse cosa mi rende davvero felice, io risponderei: i numeri. La neve, il ghiaccio e i numeri. E sai perché?"
___ Spacca le chele con uno schiaccianoci e ne estrae la polpa con una pinzetta curva.
___"Perché il sistema numerico è come la vita umana. Per cominciare ci sono i numeri naturali. Sono quelli interi e positivi. I numeri del bambino. Ma la coscienza umana si espande. Il bambino scopre il desiderio, e sai qual è l'espressione matematica del desiderio?"
___Versa nella zuppa la panna e alcune gocce di succo d'arancia.
___"Sono i numeri negativi. Quelli con cui si dà forma all'impressione che manchi qualcosa. Ma la coscienza si espande ancora, e cresce, e il bambino scopre gli spazi intermedi. Fra le pietre, fra le parti di muschio sulle pietre, fra le persone. E fra i numeri. Sai questo a cosa porta? Alle frazioni. I numeri interi più le frazioni danno i numeri razionali. Ma la coscienza non si ferma lì. Vuole superare la ragione. Aggiunge un'operazione assurda come la radice quadrata. E ottiene i numeri irrazionali."
___Scalda il pane nel forno e mette il pepe in un macinino.
___"È una sorta di follia. Perché i numeri irrazionali sono infiniti. Non possono essere scritti. Spingono la coscienza nell'infinito. E addizionando i numeri irrazionali ai numeri razionali si ottengono i numeri reali."
___Sono finita al centro della stanza per trovare posto. È raro avere la possibilità di chiarirsi con un'altra persona. Di norma bisogna combattere per avere la parola. Questo per me è molto importante.
___"Non finisce. Non finisce mai. Perché ora, su due piedi, espandiamo i numeri reali con quelli immaginari, radici quadrate dei numeri negativi. Sono numeri che non possiamo figurarci, numeri che la coscienza normale non può comprendere. E quando aggiungiamo i numeri immaginari ai numeri reali abbiamo i sistemi numerici complessi. Il primo sistema numerico all'interno del quale è possibile dare una spiegazione soddisfacente della formazione dei cristalli di ghiaccio. È come un grande paesaggio aperto. Gli orizzonti. Ci si avvicina a essi e loro continuano a spostarsi. È la Groenlandia, ciò di cui non posso fare a meno! È per questo che non voglio essere rinchiusa."

Il senso di Smilla per la neve - Peter Høeg

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