domenica 3 gennaio 2010

Angoli e aree e … musica!

Ragazzi,

Riprendiamo i nostri lavori… ancora divertendoci a scoprire eh?

Sappiamo già tante cose sugli angoli. Forse cominciamo a renderci conto di come essi influenzino le proprietà di altri oggetti geometrici, di come la loro conoscenza sia utile per risolvere problemi diversi…

Agli angoli è naturalmente legata anche l’estensione nel piano delle forme geometriche, delle figure da noi studiate. Cioè l’area delle figure geometriche [ricordate il problema delle costruzioni di case e cortili uguali….]

In questa attività vediamo come l’estensione, l’area di un rettangolo che diventa parallelogramma, cambia al variare dell’ampiezza di un angolo. Si dice che l’area è funzione dell’ampiezza di un angolo.

Il rettangolo che diventa parallelogramma: lo sappiamo vero? I quadrilateri sono articolabili, non hanno una struttura rigida come i triangoli!

Dunque operiamo su un rettangolo articolabile. Geogebra al solito ci aiuta. Clic e via con l’attività. Seguite attentamente le indicazioni sul foglio di lavoro. Agite lentamente sugli slider. Per osservare bene e comprendere!

Completato il lavoro, tornate qui! :-)

Angoliearee 

Supponendo che, secondo le indicazioni, abbiate compilato una tabella di valori: ampiezza angolo in A (x) e corrispondente valore dell’area del parallelogramma (y), 

su Excel dovreste realizzare il grafico cartesiano relativo. Io l’ho realizzato ma per il momento non vi faccio scaricare il file. Vi mostro il grafico che dovreste ottenere. Voi non preoccupatevi per ora, di inserire le unità di misura. E’ sufficiente riportare in tabella i soli valori numerici.angoliearee_grafico Come vedete, si ottiene una curva “a onde”: è una sinusoide.

Questa curva ricorda le onde sonore: si ottiene una curva di questo tipo facendo vibrare un diapason

 

Il movimento compiuto da uno dei suoi rebbi è di tipo sinusoidale. Infatti se si riporta in un diagramma cartesiano, per esempio, l’ampiezza dello spostamento di un rebbio dalla sua posizione di equilibrio in funzione del tempo, si ottiene una curva di forma sinusoidale.

Anche al flauto corrisponde una sinusoide, ad altri strumenti sonori e alla nostra stessa voce corrispondono sempre curve ad onda, ma frastagliate.ondesonore L’ampiezza di un’onda, può essere più o meno grande. Così anche la frequenza: se le onde sono più fitte, la frequenza è più grande. Cliccate sull’immagine per saperne di più sulle caratteristiche del suono (ne avrete parlato con il prof. di Musica)

Cliccando sulla seguente invece potete ascoltare! Si tratta di un esperimento che consente di mettere in relazione la percezione sonora di suoni puri di diversa frequenza, generati da un altoparlante collegato a un generatore di onde sinusoidali, con il segnale elettrico catturato da un microfono e visualizzato per mezzo di uno oscilloscopio. suono e frequenza

Infine:

Nella figura sotto vedete due sinusoidi in colore diverso; vedete poi, a tratto più marcato, una curva che non ha la forma di sinusoide, ma risulta periodica: è stata ottenuta sommando, in ogni punto, le ordinate delle due sinusoidi. ondacomposta

Si dimostra che, sempre, una curva periodica si può ottenere come " somma " di sinusoidi. E’ una scoperta sensazionale fatta ai primi dell'800 dal matematico francese Joseph Fourier.

Il valore di questa scoperta si capisce meglio se parliamo in termini di suono: vuol dire che ogni suono musicale, per quanto complesso, si può ottenere combinando insieme dei suoni semplici come quelli dati da un flauto.

Riflettiamo: vuol dire che, quando suonate la chitarra, il suono emesso lo potreste ottenere, identico, suonando contemporaneamente tanti flauti. E allora?

Allora, al limite, un'intera orchestra, composta di violini, pianoforti, violoncelli, … potrebbe essere sostituita da un numero enorme di flauti!

Da La Matematica/La geometriaEmma Castelnuovo


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11 commenti:

  1. Giovanna, è qui (http://fisicaondemusica.unimore.it/) che trovi il meglio del meglio. Visitalo tutto, guarda la sezione sugli strumenti musicali. Ciao, Peppe.

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  2. Interessantissimo...
    eh, lo visiterò tutto! :-)
    Segnalo anche ai monelli più interessati.
    grazie
    g

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  3. L'onda portante, la modulazione d'ampiezza, la modulazione di frequenza, i ripetitori... Sono le mie lezioni più seguite quando parlo delle caratteristiche delle onde sismiche e poi divago. Concludo sempre con Finardi: "Amo la radio perchè libera la mente, entra nelle case e ci parla direttamente, ma se una radio è libera, ma libera veramente, piace ancor di più perché libera la gente". Qualcuno mi chiede che cos'è una radio libera, e allora divago verso la politica... Sono un vecchio cattivo maestro.

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  4. Conosci?
    http://melusine.eu.org/syracuse/swf/
    Trovi molte cose utili e sfiziose ...

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  5. Pop,
    ma bello!
    ripetitori frequenze e Finardi. Ma cosa vogliono di più i tuoi alunni???
    e poi... ma sì, divaga divaga...
    formiamo, orientiamo! :-))


    Peppe,
    mi è parso di essere stata su quel sito per l'insieme di Mandelbrot, ma giusto per caso.
    Ci sono poi le serie di "curve celebri"... Vedo se trovo qualche novità da realizzare :-)
    Molto carino.
    ti ringrazio ancora!

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  6. Sempre incredibilmente belle le divagazioni matematiche di Emma Castelnuovo. Grazie, Giovanna, per il post.

    Buon anno ancora a tutti noi, vecchi cattivi maestri ;)

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  7. ehehe indubbiamente, Rena' :-)

    ...il mio caro vecchio primo libro di matem per le medie!
    Ho avuto la fortuna di leggerlo giusto per primo.

    vecchi cattivi maestri :), stiamo per riprendere.
    buona ripresa!

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  8. giò, che interessante! ..che lezone!
    grazie per averlo condivisa..non finisco mai di imparare e di stupirmi di quanto possa essere interdisciplinare una disciplina..bisticcio di parole? ma credo che possano dare il senso..
    un abbraccio

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  9. ciao Eli,
    ci puoi contare, la mate si lega a ... tutto! Anzi sta alla base di tutto! :-))
    E poi... ma tu non lo sapevi che la mia "maestra di didattica" è stata Emma Castelnuovo? ehehe... :-)
    grazie a te, Eli

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  10. ciao prof
    il picco più alto dell'area e dell'altezza si incontra quando l'angolo in A è di 90°cioè quando è un rettangolo .
    Man mano che l'angolo diventa acuto o ottuso diminuisce sia l'area e che l'altezza fino ad arrivare a 0 quando lo stesso è di 180°.
    Facendo scorrere i 2 slider possiamo vedere parallelogrammi con angolo diverso ma con area e altezza uguali,si arriva a osservare che quando i 2 angoli sommati tra loro danno 180°l'area e l'altezza sono uguali .
    Quindi,riepilogando:
    un parallelogramma con angolo in A pari a 135°ha altezza e area pari a un parallelogramma di angolo in A pari a 45° (135+45=180)

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  11. Marco,
    bravo. Buone osservazioni!
    Ora però, prova a continuare il lavoro. Raccogli in tabella ampiezze diverse di angolo e relative aree, prova a costruire il grafico cartesiano. Se ricordi come, su excel, altrimenti anche sul quaderno.
    Poi... continuiamo con la musica! :-)

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