matematicamedie

Considerazioni sul Teorema di Pitagora

2012-01-29T13:08:00.001+01:00

Davì

mi invia la realizzazione su GeoGebra dell’osservazione proposta dal libro di testo.

Ho aggiunto io il testo dinamico: devono ancora imparare bene! Clic su img per aprire la costruzione dinamica. Con le considerazioni...

Davì, bene la costruzione!

Altro problema con i monomi

2012-01-27T19:48:00.001+01:00

Nei lavori per ‘coppie d’aiuto’,

un trio (in classe si è in numero dispari) ha risolto il problema

n° 4: Due rettangoli aventi la medesima base 3a, hanno rispettivamente altezza $ \frac{2}{3}b \; \; e \; \; \frac{4}{3}b $

Calcola area e perimetro di ciascun rettangolo. La somma delle aree è un monomio? La somma dei perimetri è un monomio?

Soluzione (copio dal loro foglio di quaderno; ragazzi, riprovo con le formule LaTex, ho modificato, potete vederle avvicinandovi con il mouse alla formula stessa)

$\left\{\begin{array}lA_1=b*h_1\\ A_2=b*h_2\\ P_1=2b+2h_1\\ P_2=2b+2h_2\\ \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}l A_1=3a*\frac{2}{3}b\\ A_2=3a*\frac{4}{3}b\\ P_1=2*3a+2\frac{2}{3}b\\ P_2=2*3a+2\frac{4}{3}b\\ \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}l A_1=2ab\\ A_2=4ab\\ P_1=6a+\frac{4}{3}b\\ P_2=6a+\frac{8}{3}b\\ \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}l A_1+A_2=2ab+4ab\\ P_1+P_2=6a+\frac{4}{3}b+6a+\frac{8}{3}b\\ \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}l A_1+A_2=6ab\\ P_1+P_2=12a+\frac{12}{3}b=12a+4b\\ \end{array}\right.$

La somma delle aree è un monomio, la somma dei perimetri non è un monomio.

- Sono contenta di questi ragazzi [insomma, mica sempre - prima che si montino la testa...]: lavorano già benino con il calcolo letterale. Ma, ancora NON abbiamo trattato, in algebra, il “calcolo con monomi e polinomi”! Per ora sappiamo solo che : mele + mele = mele; mele * mele= mele ^2; mele^2/mele =mele, ...ah, e anche che: mele + pere = mele + pere, ma, mele*pere= melepere ! Inoltre sanno applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma e differenza. Abbiamo preferito questo approccio, ora il calcolo algebrico sarà facile e più simpatico! Ok, ragazzi?

Problemi con i monomi [Aggiornato - soluzioni]

2012-01-24T18:19:00.001+01:00

più facili di questo!

Sì, il problema di ieri si è rivelato un po’ impegnativo. Ma la discussione in classe lo ha privato di molte difficoltà, no? E avete trovato diversi “approcci”. Bene!

Ripartiamo con problemi più semplici, sempre utili per sviluppare, in maniera più graduale, le abilità nel generalizzare.

1. Il quadrato in figura ha il lato lungo l. Determina a quale monomio corrisponde l’area della parte colorata

Soluzione

Questo è stato di facile soluzione: sono colorati i 3/8 della figura, l’area del quadrato: $A=l^2 $ per cui, la parte colorata si può esprimere con il monomio: $\frac{3}{8}l^2$

2. L’area totale della figura equivale al monomio $\frac{9}{4} x^2$, mentre l’area del quadrato più piccolo è rappresentata dal monomio $\frac{1}{4} x^2$

a) Sapendo che l’altezza del rettangolo è uguale a x, scrivi il monomio che esprime il perimetro della figura.

Soluzione (quella di Letizia e altri...?)

in base ai dati, la figura è stata così suddivisa:

L’area del quadrato piccolo ha permesso di calcolare il lato: $ \sqrt{\frac{1}{4}x^2} = \frac{1}{2}x$

Il contorno della figura risulta suddiviso in 14 segmenti tutti uguali a $\frac{1}{2}x$, per cui il perimetro è uguale al monomio: $14*\frac{1}{2}x = \frac{14}{2}x = 7x$

- Altri hanno risolto calcolando l’area del rettangolo, la sua base, e i lati del poligono... Le operazioni con i monomi:

$A_{rett.}=\frac{9}{4} x^2-\frac{1}{4}x^2=\frac{8}{4}x^2=2x^2$

$base_{rett.}=\frac{2x^2}{x} =2x$

Come sopra il lato del quadrato, quindi la somma:

$x+2x+x+2*\frac{1}{2}x+2x = x+2x+x+x+2x = 7x$

(considerati solo due lati del quadrato per utilizzare per intero la seconda base del rettangolo)

b) Disegna una figura diversa dalla precedente il cui perimetro sia espresso dallo stesso monomio ricavato al punto a).

- Non è stata disegnata un’altra figura!

3. Un triangolo isoscele ha l’altezza uguale a $\frac{1}{4}$ della base, che è 4a.

Un rettangolo con base coincidente con la base del triangolo ha altezza uguale a $\frac{2}{3} a$.

Trova l’area S della figura. L’espressione di S è un monomio?

Trova il valore di S per a = 3 cm.

Soluzione

$ S=\frac{4a*a}{2} +(4a*\frac{2}{3}a )= \frac{4a^2}{2}+\frac{8}{3}a^2=2a^2+\frac{8}{3}a^2=\frac{14}{3}a^2$

Sì, l’espressione di S è un monomio.

Per a = 3, $S = \frac{14}{3}3^2 = \frac{14}{3} *9=42$

bravi, ragazzi!

Da online.scuola.zanichelli.it/

Problemino per la III_2

2012-01-22T11:26:00.001+01:00

Ragazzi,

Ve la siete cavata molto bene con questo. Cominciamo ad andare oltre l’intuizione, impariamo a generalizzare, a matematizzare ... Le equazioni sono un versatile strumento per risolvere problemi!

Ecco il secondo problema.

In un casolare montano un gruppo di 120 ragazzi ha provviste alimentari per 45 giorni.
Dopo 10 giorni arrivano altri 20 ragazzi e un gruppo di adulti; sapendo che 5 ragazzi mangiano quanto 4 adulti e tenendo conto del fatto che le provviste finiscono dopo 14 giorni dall’arrivo dei 20 ragazzi e degli adulti,

quanti adulti sono arrivati?

Un problema. Con l’aiuto di Excel

2012-01-21T15:42:00.001+01:00

Proposto dal libro di testo,

risolto con Excel. Anche con Excel!

Maria Chiara riporta tutto. Copio le immagini dal foglio di lavoro

Il file problema ditta.xlsx si può scaricare. Così può vedersi come i raga ora usano le formule, alla bisogna, con più disinvoltura!

PS: M.Chiara! Mi accorgo solo ora che hai scritto più volte “dita”. Quali sono le dita interessate?? aaah! - Ora non correggo più...

Il problemino per la III!

2012-01-20T17:30:00.001+01:00

a momenti scordavo...

e invece, ecco il problema per voi (suuu, dài!)

In una fabbrica ci sono due macchine: la prima produce 10 pezzi all’ora e la seconda 7 pezzi all’ora.
Le due macchine hanno prodotto in tutto 191 pezzi, lavorando complessivamente 23 ore.

Quanti pezzi ha prodotto ciascuna macchina?

Se sarete bravi, domani un altro! eh eh...

Ancora un problema sulla piramide

2012-01-18T13:46:00.001+01:00

Maria Chiara

ha scelto il problema e lo ha risolto, con qualche ... licenza geometrica!

La base della piramide è un trapezio isoscele. In classe abbiamo discusso e perfezionato e, e ...: la prof a casa ha ulteriormente perfezionato la costruzione con SketchUp!

Clic su figura per seguire la risoluzione passo a passo

Teorema di Pitagora. Video-dimostrazione_2 e...

2012-01-18T13:02:00.001+01:00

Daniele,

dimostra il Teorema di Pitagora, pesando...

Bravo Dani, sei forte!

... evviva la freschezza dei ragazzi!

Aggiungo il bel lavoro sul quaderno, di Andrea F. che, assente per un paio di lezioni, ha lavorato a casa. Bravo! Clic per ingrandire se necessario.

Matematica dei fiori soluzioni.... [Aggiornato]

2012-01-15T16:26:00.001+01:00

dovrei dire si attendono,

al quesito!

Al momento è arrivata quella di Davide D.: corretta, con spiegazione e procedimento e tanto di costruzione geogebra!

E no, la vedete ancora “muta”!

Attendo altre e poi pubblico via via su questo post.

[Aggiorno]

Dopo il lavoro in classe con discussione, posso pubblicare le soluzioni. Di:

Davide D.

Beatrice – la spiegazione sull’applet. clic su fig.

Marco D.

Davì. – la prende più alla larga..., mi invia il testo:

Soluzione al fiore:

l'angolo richiesto misura 144°. Ho ragionato così:

devo calcolare l’ampiezza degli angoli alla base dei triangoli isosceli, 4 di questi hanno lo stesso vertice dell’angolo cercato.

trovo così:

la somma degli angoli interni di un pentagono si trova moltiplicando (180° x 5 ) (somma interni + esterni) – 360° (somma esterni) =
900° - 360° = 540°

540° : 5 = 108° ; 108° :2 = 54°

54° x 4 = 216° ; 360°- 216° = 144°

In classe, valide le soluzioni di Igor e Stefano. Per gli altri si sono rese necessarie domande-guida, ecc...!

Teorema di Pitagora. Video-dimostrazione di Perigal

2012-01-15T14:39:00.001+01:00

Dopo aver visto

e lavorato sulla nostra dimostrazione di Perigal del Teorema di Pitagora,

Davì, che ha anche realizzato la costruzione su GeoGebra,

ispirato dal video dei ragazzi di prof Daniele, ha anche lui ... toccato con mano!

Bene, Davì!

Tutti, in classe, abbiamo invece costruito, ritagliato, accostato... con questa dimostrazione. I ragazzi molto bravi anche a dimostrare la condizione di quadrato di C (proprietà lati e angoli!)

Anche i fiori sanno la matematica!

2012-01-15T09:30:00.000+01:00

Per tutti!

- O, ragazzi di seconda, bravissimi nelle dimostrazioni sugli angoli, questo bel problemino è per voi!

Ma, voi terza, ... vi tirerete mica indietro?

Il fiore della huernia presenta un'unica corolla maculata e,

quando è in boccio, richiama la forma di un pentagono regolare.

Quanto misurano gli angoli che si formano fra le punte quando è aperto completamente?

Indicate il procedimento seguito.

Fonte: Matematica Senza Frontiere

Problema su piramide quadrangolare regolare

2012-01-14T19:19:00.001+01:00

Di Letizia, su GeoGebra

Passo a passo la risoluzione sull’applet. Clic sotto.

Espressioni con razionali relativi su Geogebra

2012-01-14T18:32:00.001+01:00

Risolte da:

Erica. Che ha ben utilizzato il LaTex

Clic sull’immagine per aprire l’applet e seguire i passi della risoluzione.

[In LaTex non è agevole visualizzare le semplificazioni delle frazioni. Con il comando \not il segno di semplificazione appare sulla sola prima cifra dei numeri]

Gabriele. Ancora bene con La Tex!

Differenza fra due numeri quadrati

2012-01-11T17:00:00.001+01:00

A tutti!

In terza abbiamo accennato stamane, in seconda... bé, non stiamo parlando di quadrati e di radici? Il lavoretto non è legato alle radici, ma voi vi siete espressi dicendo ben “numeri quadrati”. Allora... vedetevelo tutti!

- per la verità, con l’attuale terza lo avevamo visto in prima. Maaa, ora ci si avvia alla ...matematizzazione!

Matematizzazione, parole e simboli

Da un numero quadrato sottraggo un numero quadrato

Differenza fra due quadrati = somma per differenza !

Rettangolo trasformato in un quadrato di area uguale

2012-01-10T16:16:00.001+01:00

Cari III,

ecco il secondo problema dal Sulbasutra di Baudhayana di cui abbiamo parlato stamane e avviato ...

Sì, forse era un tantino più complesso del primo e perciò la soluzione promessa.

Trasformare un rettangolo in un quadrato di area uguale.

Il risultato, secondo il Sulbasutra di Baudhayana, è quello mostrato in figura.

ABCD è il rettangolo di partenza, il quadrato richiesto è JSTR.

La dimostrazione dell’equivalenza delle due figure deriva dal Teorema di Pitagora.

Sull’applet seguite i passi della costruzione. Per visualizzarli agite sul pulsante “inizio” e selezionate Mostra/Nascondi oggetto dalla barra degli strumenti. Alla fine fate clic sullo strumento Muovi per nascondere nuovamente gli oggetti e concentrarvi ancora sulla costruzione. Clic su img

Geometria con la LIM

2012-01-09T19:38:00.001+01:00

E’ sempre cosa da me graditissima

ricevere in regalo un libro. Se poi il regalo arriva da una cara amica che stimo e, ma sì lo dico, mi stima, il gradimento è doppio. Anzi, io voglio dire, elevato a potenza !

Libro da condividere con i lettori del blog: per la didattica! E non solo con la Lim, lo dico da subito, e non solo per la scuola primaria!

Il prezioso regalo appena ricevuto dalla mia carissima amica Renata Rosso (la nostra Maestra Renata)

Grazie Renata!

Geometria con la LIM nella scuola primaria

Giorgio Bolondi, Aurelia Orlandoni, Francesca Storai

In collaborazione con Irene Ferrari, Renata Rosso, Eva Pigliapoco, Ivan Sciapeconi.

Centro Studi Erickson

Collana: CLIM - Classe Interattiva Multimediale

Dalla quarta di copertina:

La collana CLIM (Classe Interattiva Multimediale) mette a disposizione degli insegnanti della scuola primaria e della secondaria di primo grado gli studi e gli strumenti più aggiornati sulla didattica con la LIM e, più in generale, con le nuove tecnologie.
L’obiettivo è di far acquisire le competenze teoriche e pratiche per introdurre in aula i dispositivi didattici digitali — primo fra tutti la Lavagna Interattiva Multimediale — attraverso la presentazione di alcuni percorsi di insegnamento e delle modalità corrette per allestire e gestire i materiali inclusi in ogni volume della serie (italiano, storia, scienze, ecc.).

In particolare in questa proposta i docenti troveranno le riflessioni di esperti di applicazioni delle nuove tecnologie nell’area disciplinare della matematica e

tre moduli didattici per l’insegnamento della geometria per la scuola primaria.

In questo volume
• Introduzione all’utilizzo della LIM nel curricolo di geometria
• Geometria con le nuove tecnologie: cosa cambia
• Metodi, strumenti e risorse didattiche per l’apprendimento della geometria con la LIM
La LIM in classe: percorsi di insegnamento/apprendimento
Esplorazione, costruzione e trasformazione di poligoni a cura di Irene Ferrari
Costruzione di figure con «GeoGebra» a cura di Renata Rosso
Calcolo delle superfici piane a cura di Eva Pigliapoco, Ivan Sciapeconi.

Come ho detto, ho ricevuto il libro appena da qualche ora. E, i percorsi di insegnamento/apprendimento sono le prime pagine sfogliate.

Il titolo del libro recita “nella scuola primaria”. Io tengo a sottolinearne l’utilità per la secondaria di primo grado!

Si tratta di didattica, di buone prassi didattiche. Precisati Tematiche, Finalità e Obiettivi di Apprendimento, Metodologie, Funzione della Lim, ciascun percorso è corredato dalle Fasi delle attività e diverse Schede operative di lavoro.

Non mancano riferimenti all’utilizzo di materiali concreti, da manipolare (quanto ancora è necessario nella secondaria di primo grado il ricorso al concreto, la manipolazione!), all’utilizzo di riga e compasso per le costruzioni geometriche. Aggiungo: trovo i riferimenti alla didattica della grande Emma Castelnuovo.

Non solo Lim, dunque. Ma, software didattici sì! Geogebra, il nostro Geogebra: maestra Renata egregiamente ne presenta caratteristiche, utilizzi e contributi nella didattica. Per una didattica costruttiva, un uso critico e creativo delle tecnologie a supporto della didattica, che può portare a modificare le metodologie educative, a incidere sugli stili di apprendimento ... Anche Renata sottolinea l’adoperare le mani prima di usare il software. E, ragazzi, se avete letto fin qui, a me imbarazza un po’ ma sono certa che a voi no e ne sarete ben felici: maestra Renata nel suo contributo cita il nostro blog, i vostri lavori e qualche esempio di attività condotte in collaborazione. Grazie, Renata. Ti dobbiamo tanto... !

Spirale delle radici!

2012-01-05T12:23:00.001+01:00

Appena ricevuta da Beatrice:

“Professore’ ho costruito la spirale delle radici su ggb seguendo le istruzioni del blog!!
Ciao!”

Clic per aprire l’applet. Con animazione o slider!

Sì sì, Bea hai seguito proprio bene le istruzioni. Brava!

Aggiungo la “chiocciola” di Davì

Non metto l’applet, ma ho controllato la costruzione: corretta! Bravo, Davì. Si impara, si consolida sempre qualcosa, a fare!

La geometria dei Sulbasutra

2012-01-04T12:04:00.001+01:00

In seconda

stiamo per parlare di Teorema di Pitagora. So che qualcuno ha già sbirciato sul blog e, può darsi abbia già visto che la conoscenza di questo teorema può essere attestata in molte tradizioni matematiche antiche.

E i Sulbasutra?

Sono alcune “appendici”, note come Vedanga, dei principali Veda, i testi sacri dell’induismo [da Indù (chi abita oltre l'Indo). Religione dell'India...].

I Vedanga sono suddivisi in sei rami di conoscenza:
1) fonetica, la scienza dell’articolazione e della pronuncia,
2) grammatica,
3) etimologia,
4) metrica (chandah), l’arte della prosodia dal greco pros, "verso" e odè, "canto"),
5) astronomia e
6) regole per riti e cerimonie (kalpa).

Negli ultimi due Vedanga si trovano le fonti più importanti della matematica del periodo vedico. La testimonianza è generalmente in forma di Sutra, un modo di scrivere particolare che tende alla massima brevità e spesso utilizza uno stile poetico per catturare l’essenza di un argomento o di un risultato (possiamo definirli aforismi della saggezza indiana).

Una gran parte del sapere veniva resa più facilmente memorizzabile cercando di evitare il più possibile l’uso dei verbi e componendo nomi molto lunghi. La condensazione nei Sutra era anche una strada per integrare la scarsità di materiale scrittorio (che serve per scrivere. Interessante per voi ragazzi, questa pagina).

I Sulbasutra contenevano le istruzioni per la costruzione e la misurazione degli altari destinati ai sacrifici rituali. Il termine in origine significava “regole per condurre riti sacrificali", ma in seguito la parola sulba si riferì al tratto di fune usato per la misurazione degli altari. Buona parte di quello che sappiamo della geometria vedica proviene da questi sutra.

Clic per ingrandire l’immagine

Altare sacrificale vedico a forma di falco

LA GEOMETRIA DEI SULBASUTRA

La geometria dei Sulbasutra (riportati in forma scritta fra l'800 e il 600 a. C.) scaturì dall'esigenza di assicurare una rigida conformità dell’orientamento, della forma e dell’area degli altari alle prescrizioni stabilite dalle scritture vediche.

Questa precisione era estremamente importante per l’efficacia del rituale come lo era la pronuncia meticolosa dei canti vedici (o mantra).

I tre aspetti della geometria dei Sulbasutra:
1. le conclusioni geometriche e i teoremi esplicitamente enunciati;
2. le procedure per costruire altari di forme diverse;
3. gli strumenti algoritmici contenuti nei punti (1) e (2).

L'enunciato più importante della prima categoria è il teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo.

L'enunciazione attuale del teorema di Pitagora, espressa in termini di lati e diagonali di quadrati e rettangoli, si trova nei Sulbasutra di Baudhayana, Apastamba e Katyayana. La versione di Baudhayana dice:

La fune che viene tesa attraverso la diagonale di un quadrato produce un’area di dimensione doppia rispetto al quadrato originale.

I tre Sulbasutra forniscono una proposizione più generale:

La fune [tesa per la lunghezza] della diagonale di un rettangolo forma un’[area] pari alla somma di quella formata dal lato verticale e da quello orizzontale.

Ed ecco un esempio che illustra il modo in cui questa proposizione veniva applicata al disegno e alla costruzione di un particolare tipo di altare.

Nell’immagine sotto, il progetto della base dell’altare mahavedi (un altare “cimitero” sul quale veniva offerta una bevanda inebriante chiamata soma come sacrificio agli dei). Se si voleva che il sacrificio desse frutti questa base doveva essere costruita adottando dimensioni precise.

Nel Sulbasutra di Apastamba venivano date tutte le istruzioni per la costruzione dell’altare: con l’aiuto di una fune ...

Voi trovate, in notazione moderna, i passi della costruzione, sull’applet GeoGebra. Clic su img.

Le istruzioni portano ad individuare dei triangoli rettangoli con i lati aventi misure espresse da “terne pitagoriche” intere (vedete meglio sull’applet).

AX = XD = 12 pada
BY = YC = 15 pada
XP = 5 pada
PR = 23 pada
RQ = 7 pada
QY= 1 pada
XY = 36 pada

Come si vede, doveva essere un trapezio isoscele ABCD in cui AD e BC erano 24 e 30 pada (letteralmente “piedi”). L’altezza del trapezio (cioè la distanza tra i punti di mezzo X e Y di AD e BC) doveva essere esattamente 36 pada.

Oltre alle terne pitagoriche intere, per costruire triangoli rettangoli venivano anche utilizzate due frazioni conseguenti: $ 2\frac{1}{2}, \; 6, \; 6\frac{1}{2} \; e \; 7\frac{1}{2}, \; 10, \; 12\frac{1}{2} $

Inoltre la costruzione di alcuni altari comportava l’uso di terne come: $1, \; 1, \; \sqrt{2}; \; \; 5\sqrt{3}, \; 12\sqrt{3}, \;13\sqrt{3}; \; \;15\sqrt{2}, \;36\sqrt{2}, \;39\sqrt{2} $ Questi numeri scaturivano probabilmente da necessità rituali che imponevano costruzioni di altari le cui aree erano multipli integrali o frazioni di aree di altri altari della stessa forma. Per es. si arrivava alle dimensioni di un altare soutramani (a base triangolare con i lati $5\sqrt{3}, \; 12\sqrt{3}, \;13\sqrt{3}$, cominciando con un triangolo 5, 12, 13, con un’unità di misura che era la purusha (quasi 2,5 metri, oppure l’altezza di un uomo con le braccia sollevate).

I Sulbasutra erano prima di tutto manuali di istruzione per costruzioni geometriche: quadrati, rettangoli, trapezi e cerchi che dovevano conformarsi a dimensioni e aree stabilite. Qualsiasi inesattezza avrebbe invalidato rituali e sacrifici!

Ecco un esempio su cui potete, voi ragazzi, provare a cimentarvi (è facile, servitevi dell’aiuto, poi, onestiii!, mi direte se siete riusciti....):

Fonte: C’era una volta un numero – La vera storia della matematica – George Gheverghese J. - Il Saggiatore

Su radici quadrate, insieme Irrazionali, Reali ...

2011-12-27T11:52:00.001+01:00

Segnalazione per la II!

Cari ragazzi,

mica posso non pensarvi, eheh ... ! E allora:

da QUESTO POST, dove ho già raccolto i richiami all’argomento,

terapia (di rinforzo): un link al giorno!

Buon Natale e Buone Feste

2011-12-23T18:12:00.001+01:00

Ai nostri amici, a chi ci legge,

Auguriamo Buone Feste

con una bella presentazione curata da Carmela, Erica, Giada, Giovanna, Letizia, M. Chiara, e Veronica. E’ la componente femminile della III A!

E' Natale

Brave, ragazze

Auguri a voi, tutte le classi e le famiglie.

Piramidi per un cubo

2011-12-21T16:37:00.001+01:00

Gabriele,

con SketchUp proprio bravo, non c’è da dire. Ma non solo... !

Ha eseguito l’attività sul volume della piramide: il cubo assemblato con piramidi uguali.

Con GeoGebra 3D –corretta!

Ancora lavori sulla piramide

2011-12-19T20:52:00.001+01:00

Ragazzi (III),

eccovi due attività:

1. Costruita una piramide quadrangolare regolare, con altezza lunga 1/2 dello spigolo di base (la mia costruita con SketchUp; volendo, scaricate il file (file in ordine alfabetico) oppure costruite voi),

h =1/2 lato base

quante di queste piramidi si dovranno unire per assemblare un cubo?

Chi è più bravo di me faccia il lavoro su SketchUp!

Ancora una volta potete giustificare la formula per il calcolo del volume della piramide. Provate a scrivere i passaggi matematici utilizzando le lettere.

Aiuto: l = spigolo del cubo, h piramide = ? (in funzione di l).

2. Costruita così invece:

- la base è un quadrato;

- lo spigolo più corto è perpendicolare e uguale alla base.

quante di queste occorrono per assemblare un cubo?

E ancora si dimostra la formula del volume della piramide...

Chi può, lavori su SketchUp; potete scaricare anche questa seconda costruzione.

Potete altrimenti costruire la piramide da questo sviluppo piano, da stampare (trovato in rete, dovrei mettere un link, per evitare di darvi la risposta lo farò fra qualche giorno ... anche se voi siete furbetti!)

Aggiungo lo sviluppo piano realizzato su SketchUp con il tool suggerito dal prof. Guzman (vedi commenti). Si possono aggiungere perfino le linguette! Sono intervenuta sull’immagine per eliminare lo sfondo verde-azzurro di SK. e ho ravvivato i colori.

Volume della piramide

2011-12-18T20:50:00.001+01:00

Per la III

Ragazzi, voi fate il lavoro manuale a casa (e mi raccomando!), io ho fatto questo. Clic su img

Ancora una costruzione. Per rafforzare: le basi dei due solidi devono essere ....?

Cliccate anche sulla figura qui a destra, molto carine le figure geometriche in legno.

Decimale periodico n/7

2011-12-15T22:00:00.001+01:00

Ragazzi,

riporto qui la curiosità di cui vi ho parlato, sul numero periodico semplice generato dalle frazioni con denominatore 7.

Abbiamo trovato il numero periodico generato da 1/7 :

Quando si è ripresentato il resto di 1 abbiamo trovato il periodo: 142857 142857 142857 142857 .... di sei cifre.

Il periodo non poteva essere più lungo di sei cifre: infatti, abbiamo ragionato, la divisione per 7, escludendo lo zero se il divisore è un multiplo di 7, può avere solo sei resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. (Se ho resto 7 o maggiore... so che ho sbagliato la divisione: ci stava qualche volta in più!)

Ora: per calcolare il periodico generato da 2/7, basta osservare che il calcolo comincia con un resto 2:

2:7 = 0 con resto 2

Il lavoro l'abbiamo già fatto per la divisione 1:7; ci limitiamo a prendere il risultato dal punto in cui compare il resto 2, e a scrivere la risposta come 0,285714... periodico.

Possiamo chiamare questa ricorrenza, proprietà del nastro trasportatore, pensando al dispositivo sui cui girano i bagagli usciti nella sala arrivi di un aeroporto. Dovunque ci fermiamo, ci passano davanti gli stessi oggetti.

Per trovare il periodico generato da 3/7, basta fermarsi nel punto in cui compare il resto 3 e osservare il ciclo che si ripresenta come 0,428571....

Ribadiamo: ci sono soltanto sei possibili resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, e ciascuno di essi compare una sola volta. E osservate bene la proprietà del nastro trasportatore del numero 142.857:

142.857 x 1 = 142.857
142.857 x 2 = 285.714
142.857 x 3 = 428.571
142.857 x 4 = 571.428
142.857 x 5 = 714.285
142.857 x 6 = 857.142

Non vi sembra curioso?

A questo punto, osservate:

142.857 x 7 = 999.999

Quando si calcola la sesta cifra decimale del rapporto 1/7 il resto è 1. Ciò significa che la divisione di 1.000.000 per 7 ha resto 1, e quindi 7 sta esattamente in 999.999, 142.857 volte.

La frazione 1/7 e il suo valore decimale ci dicono una cosa sugli interi: 7 è un divisore esatto del numero che si scrive come sei 9!

.... C'è una regolarità che sussiste anche per altre frazioni?

La curiosità è tratta dal libro:

Il Curioso Dei Numeri (già!) - Stranezze matematiche, controversie scientifiche, divagazioni da 1 a 9 di Andrew Hodges

Prisma retto a base rombica

2011-12-14T14:43:00.001+01:00

Ancora un problema risolto.

Su Geogebra, da Gabriele e Erica. Clic su fig.

Problema su parallelepipedo rettangolo

2011-12-13T15:19:00.001+01:00

Di Maria Chiara.

Anche lei mostra passo a passo la risoluzione.

Clic su img

Brava M. Chiara!

Problema su prisma triangolare

2011-12-11T12:55:00.001+01:00

Di Letizia

sempre su Geogebra 5.0 beta la costruzione del solido in 3D ...

Letizia mostra passo a passo la risoluzione.

Clic su img

Brava Leti!

La simmetria sul piano cartesiano

2011-12-08T20:17:00.001+01:00

Compiti per casa

realizzati su Geogebra da

Beatrice:

Esercizi n° 28-29-30-31-32 pag.227 libro di geometria!!.ggb

Ecco l’applet. Clic

Il n° 31 lo ha eseguito correttamente su Geogebra anche Giovanni

Le costruzioni sono realizzate utilizzando le proprietà dei punti nella simmetria assiale. Come in entrambi i lavori si può verificare visualizzando “oggetti nascosti” : rette e circonferenze (a meno che quella furbetta di Bea non abbia, in qualche figura, “imbrogliato”, usando lo strumento di Geogebra )

Un problema sul cubo

2011-12-07T15:06:00.001+01:00

Di Gabriele

su Geogebra. Ha utilizzato GeoGebra 5.0 beta per la costruzione del solido in 3D ma non è stato possibile creare l’applet. Abbiamo inserito l’immagine in GeoGebra 4. Clic su Img

Simmetria centrale

2011-12-06T15:08:00.001+01:00

Sono i lavori su Geogebra di

Marco D.

Clic su immagini, le costruzioni sono realizzate sfruttando la proprietà dei punti simmetrici rispetto a un punto, centro di simmetria, e non con lo strumento apposito di Geogebra.

di Davide D. Che finalmente si è dato al colore!

e di Davì. Il quale ha risposto alla domanda dell’esercizio del testo: cosa noti?

Geogebra aiuta proprio a fare scoperte! Davì scrive:

provando a giocare con geogebra e volendo sovrapporre i poligoni, ho scoperto che la sovrapposizione in questo caso
non avviene attraverso un ribaltamento ma per rotazione di 180°.
Quindi ho creato uno slider ....

Già: la simmetria centrale corrisponde a una rotazione di 180° attorno al centro di simmetria!

Bravi, ragazzi!

Appena arrivato un lavoro di Stefano. Clic

Bene, Stefano!

Simmetrie del quadrato e analogie di struttura

2011-12-05T13:31:00.001+01:00

Le abbiamo viste in classe.

Ho riportato su Geogebra le osservazioni sulle simmetrie del quadrato, nelle quali abbiamo riconosciuto analogie di struttura: operazioni geometriche, operazioni aritmetiche, operazioni logiche... elementi e operazioni del tutto diverse dove si ripete però lo stesso motivo, la stessa struttura!

A partire da questa immagine:

osservando particolari coppie di figure, ci si accorge che alcune coppie sono inversamente uguali, ottenute perciò con un ribaltamento, altre sono direttamente uguali, si ottengono senza che la figura si sollevi dal piano, come avviene ad es. con la rotazione.

Sull’applet, potete interagire, sono riportate le composizioni di simmetrie e rotazioni e

la tabella di composizione:

Ragazzi, qui vi sottolineo un particolare sulla composizione delle due simmetrie assiali. E’ noto come il Teorema dei due ribaltamenti:

Il prodotto di due simmetrie assiali rispetto ad assi incidenti equivale alla rotazione, intorno al loro punto di intersezione, di ampiezza pari al doppio dell’angolo formato dagli assi di simmetria.

Verificatelo sull’applet.

Ricordiamo le strutture analoghe, viste l’anno scorso (clic sulle immagini, sono le vostre relazioni):

Tabella dell’addizione del Pari e Dispari

Tabella di composizione del Sì e del No

E la tavola dell'addizione dello zero e dell'uno

Attenzione! Non c'è un errore nell'ultima casella in basso: 1+1 non fa 0 nella nostra aritmetica, ma in un’aritmetica che ancora dobbiamo scoprire, quella delle "classi resto [0] modulo 2", sì! (per il momento stabiliamo soltanto che i simboli 0 e 1 stanno ad indicare, in modo breve, i termini pari e dispari: i numeri pari sono i numeri che divisi per 2 danno resto 0 e i numeri dispari sono i numeri che divisi per 2 danno resto 1)

Potete scaricare un file Excel tab_Pari_Dispari.xls dove troverete, anche la legge moltiplicativa oltre a quella additiva.

Simmetrie, giochi di specchi

2011-12-02T18:26:00.001+01:00

Tempo fa scrissi

in un commento su Il piccolo Friedrich, che avrei rubato l’attività sulle Riflessioni geometriche della maestra Cristina. [Ragazzi, fate clic sul link dell’attività, vedrete le belle immagini del lavoro della classe!]

Infatti: ho proposto nella classe seconda, la simmetria dei poligoni regolari anche attraverso l’utilizzo degli specchi incidenti.

Il materiale è stato procurato dai ragazzi; chi preciso, chi un po’ meno, hanno costruito gli specchi, disegnato, ritagliato, e svolto con entusiasmo e allegra partecipazione l’attività.

Qualcuno ha lavorato con più calma a casa e principalmente di quei lavori ci siamo serviti per riportare i risultati e le scoperte in una presentazione Power Point. Abbiamo lavorato anche con Geogebra, simulando gli specchi incidenti. Le osservazioni sulla presentazione sono tratte dalle relazioni dei ragazzi sul lavoro svolto.

Anche le righe che seguono sono una sintesi dei loro diversi scritti.

In prima media abbiamo già conosciuto la simmetria. Con Geogebra abbiamo costruito, con rotazioni, inviluppi, effetto caleidoscopio, ecc..., tante belle figure simmetriche anche animate.

Nello studio dell’aritmetica (le tabelle dell’addizione e della moltiplicazione) e della geometria abbiamo riconosciuto figure che si guardano allo specchio ! Ma abbiamo scoperto che la simmetria è un fenomeno che si registra in natura, non solo nell'aritmetica e geometria.

Ora, in seconda, stiamo facendo un lavoro di maggiore consapevolezza, dice la prof!
Per studiare meglio la simmetria dei poligoni regolari abbiamo utilizzato gli specchi.
Con due specchi incidenti, uniti con un pezzo di scotch, facendo in modo che si possano muovere a seconda dell'angolo desiderato, abbiamo eseguito delle attività divertenti. Ecco la nostra presentazione!

Simmetrie specchi incidenti

Grazie, Maestra Cristina!

Link

Nostro lavoro su geogebra, simulazione specchi. Con doppio clic si può aprire l’applicazione e salvare.

Altri nostri lavori:

Simmetrie nei poligoni regolari

Simmetrie nel rombo e nel rettangolo

Trova gli assi di simmetria nel triangolo

Trova gli assi di simmetria nel rettangolo

E con la simmetria?

Da cosa nasce ... “+ belle immagini!”

Il cuore con la simmetria

2011-11-18T22:55:00.001+01:00

Marco D. (II)

ha rivisitato la costruzione del cuore con Geogebra, con la simmetria assiale.

Clic su immagine per vederla sull’applet.

bene, Marco!

Il DNA con SketchUp

2011-11-18T22:31:00.004+01:00

Questa la costruzione

di Erica

Brava Erica.

Aspetto la costruzione di qualcun altro ... !

...che arriva!

Quella di Gabriele

Bene, Gabri.

Video DNA

2011-11-17T17:31:00.001+01:00

Questo pomeriggio in III,

si era davvero in pochi e, con Veronica, Giovanna, Gabriele, Erica e Carmela ci siamo goduti dei bellissimi video sul DNA: struttura, duplicazione, trascrizione, sintesi delle proteine...

Il primo:

1. DNA: struttura, duplicazione, trascrizione, traduzione

un’affascinante visualizzazione CGI (computer-generated imagery - immagini generate al computer) che mostra le animazioni di avvolgimento del DNA, la replicazione, la trascrizione e traduzione. Creato da Drew Berry, “biomedical animator” del Walter and Eliza Hall Institute of Medical Research di Melbourne, Australia.

Abbiamo potuto vedere bene anche gli istoni, le proteine associate al DNA nella cromatina del nucleo della cellula.

2. Cromosomi e DNA

3. DNA: duplicazione

4. Trascrizione (dal DNA all'mRNA) e Traduzione (mRNA in proteina)

5. Traduzione: sintesi delle proteine

Anche quest’ultimo ci è piaciuto tantissimo, abbiamo controllato sulla tabella del nostro testo la corrispondenza esatta triplette mRNA –aminoacidi, triplette-stop, ecc...

Buona visione agli assenti interessati!

La ricerca su Google dei materiali, ci ha portato quasi subito sul blog della neo mamma Maria Carla, da cui abbiamo preso i suggerimenti. Grazie neomamma!

Infine:

sotto la regia dei maestri, Gabriele e Erica abbiamo cominciato a costruire il DNA con SketchUp

[Tutoriali] Costruzione di solidi platonici con SketchUp

2011-11-12T21:59:00.001+01:00

Gabriele,

il mio braccio destro per SketchUp, ha realizzato i video tutorial della costruzione dei poliedri regolari.

Gabri ha creato un unico video che ho dovuto suddividere in più parti per via del peso, per comodità di caricamento su You Tube e forse risulta anche più comoda la fruizione.

E’ consigliabile la visualizzazione schermo intero su You Tube

Il primo mostra la costruzione del dodecaedro:

Il secondo quella del cubo e dell’ottaedro

Il terzo video mostra la costruzione del tetraedro

L’ultimo, quella dell’icosaedro

Bravo Gabri, grazie!

Un problema (per la II!)

2011-11-09T19:57:00.001+01:00

Ragazzi,

proposto stamane, mentre finivate ricreazione, prima che uscissi... a Marco D. e Stefano.

Chi legge, cerchi di risolvere!

Se si congiunge un punto di una diagonale di un parallelogramma con i quattro vertici, si decompone la figura in quattro triangoli equivalenti a due a due. Perché?

Costruite voi su geogebra, muovete il punto sulla diagonale ...

Marco D. mi ha già inviato la soluzione corretta!

I mistici poliedri regolari

2011-11-06T12:51:00.001+01:00

Così hanno intitolato

Erica e Letizia, la relazione sulle nostre attività inerenti i poliedri regolari, probabilmente colpite dalla visione cosmologica di Platone di questi solidi perfettissimi.

Nella lezione di oggi abbiamo continuato a parlare dei meravigliosi poliedri regolari, che come abbiamo già potuto constatare nelle lezioni precedenti, sono dei solidi delimitati da poligoni regolari.

I poliedri regolari sono solo 5: tetraedro, avente 4 facce a forma di triangolo equilatero, esaedro (comunemente detto cubo) avente 6 facce quadrate, ottaedro avente otto facce a forma di triangolo equilatero, dodecaedro avente dodici facce pentagonali (pentagoni regolari) e infine l'icosaedro avente venti facce a forma di triangolo equilatero.

Perché ci sono solo 5 poliedri regolari???

Avevamo già analizzato la situazione: nel tetraedro il numero delle facce per vertice è pari a 3 e la somma degli angoli che si incontrano nel vertice è uguale a 180° quindi non raggiunge 360°. Se avesse raggiunto 360° sarebbe stato un bel guaio!! Perché un angolo di 360° è un angolo giro e quindi si appiattirebbe sul piano e non si formerebbe l'angoloide. [Angoloide: parte di spazio delimitato da tre o più facce con
un vertice comune]. Perciò il massimo numero di triangoli equilateri che si possono incontrare in un solo vertice è 5.

La stessa cosa vale per gli altri poliedri regolari.

Nel cubo (esaedro) si incontrano in un vertice 3 facce (3*90° va bene, non si potrebbero incontrare 4 facce (4*90° = 360°).

Nel dodecaedro si incontrano 3 facce pentagonali: 108° *3 =324°

I 5 poliedri regolari vennero descritti da Platone come simboli dell'universo e dei suoi elementi: il fuoco (tetraedro),la terra (esaedro), l'aria (ottaedro), l'acqua (icosaedro) e per concludere la quinta essenza (dodecaedro). [Segnalo ancora QUESTO che contiene tra l’altro, un’interessante integrazione:

Il manoscritto di Milano del «De Divina Proportione» dal blog di Popinga]

Oggi abbiamo pensato di costruire una tabella nella quale indicare il tipo di poliedro, il tipo di poligono, n° facce per vertice, n° totale facce (f), n° vertici (v), n°spigoli (s).

Sotto ve ne riportiamo una copia:

Lo scopo di ciò era di trovare la relazione che lega f, v e s che viene chiamata relazione di Eulero.

La prof ci ha chiesto di osservare la tabella concentrando la nostra attenzione sulle ultime tre colonne e subito abbiamo notato che f + v - 2 equivale a s o anche, di conseguenza, f + v = s + 2. Facciamo degli esempi: 4 + 4 – 2 = 6 ; 6 + 8 – 2 = 12 ; 12 + 20 – 2 = 30

Questa regola vale per tutti i poligoni, anche quelli irregolari purché siano “senza buchi”.

La prof ci ha ricordato che avevamo già incontrato la relazione di Eulero in prima media in un gioco topologico. Questi sono i nostri lavori:

Gioco topologico

Come fece Eulero …

E poi avevamo scoperto la relazione, in un'applet geogebra:

Scopri la formula di Eulero!

Fine

Brave, Leti e Erica. Aggiungerò al post le altre nostre foto non appena le riceverò da Gabri.

Ho raccolto le foto dei vostri poliedri, in una breve presentazione

Labo solidi platonici

grazie Gabri, Bravi tutti!

Poliedri platonici con SketchUp

2011-11-04T22:55:00.001+01:00

di Gabriele.

Che ha realizzato anche il video (gli ho aggiunto la musica).

Bravo Gabri!

Sotto, un’immagine della nostra attività in classe. Carta e Geomag. Manca il dodecaedro!

Esamini e sviluppi di un cubo

2011-11-03T10:25:00.003+01:00

I ragazzi della terza,

per questo pomeriggio hanno il compito di trovare tutti i possibili sviluppi piani del cubo. Nell’attesa delle loro scoperte, predispongo il completamento dell’attività.
Utilizziamo i polimini. Sono figure costruite con uno, due, tre, quattro, cinque e più quadrati che devono avere almeno un lato in comune. Non si considerano le figure che si ottengono con simmetrie e rotazioni.
Presa da Maestra Renata:
Ovviamente 6 quadrati possono rappresentare lo sviluppo piano della superficie di un cubo. Dati gli esamini, tutte le possibili figure piane ottenute combinando tra loro sei quadrati tutti uguali, riusciamo a individuare quali possono rappresentare lo sviluppo di un cubo?

Questo pomeriggio discussione in classe: compito e ampliamento.

Poliedri halloween

2011-11-02T10:52:00.001+01:00

Davì (II),

ha risposto all’invito e ha provato a costruire il dodecaedro con la zucca. Non era facilissimo, in seconda ancora non conosciamo i solidi platonici, forse non è perfetto ma è carino. ecco le immagini

Dodecaedro halloween

Bravo Davì!

Halloween

2011-10-31T15:48:00.001+01:00

festa che mica mi piace tanto .... !

Ma come si fa a non pubblicare il lavoro che mi invia Bea? Che con archi, circonferenze, ellissi, poligoni, settori circolari,..., su Geogebra ha realizzato questo. Clic se volete aprire l’applet.

Brava, Bea!

E, carissimi tutti (ragazzi II e III), io vi propongo un link, segnalato in rete, davvero carino e interessante.

Andate a osservare come si possono intagliare delle zucche per costruire i poliedri regolari, i solidi platonici (animazioni). E anche:

I poliedri platonici con SketchUp

Materiali e strumenti
Zucche (il più possibile sferiche)
coltello affilato
Seghetto (per tagliare il gambo per l'ottaedro e icosaedro)
Giornale (per il disordine!)
Nastro adesivo (non troppo appiccicoso, in modo che possiate nastrare e staccare facilmente)
Carta
Matita o pennarello

Clic sull’immagine sotto per seguire le istruzioni di lavoro. In inglese, voi dovreste saper interpretare (se no, usate http://translate.google.com, come faccio io!) Ci sono tuttavia le immagini, chiarissime; non serve neppure tradurre.

Per giovedì, al rientro, aspetto lavoretti. Soprattutto dai ragazzi della terza! Ma, un bel voto a chi della seconda realizza...

- Altra segnalazione interessante

Halloween: la paura viene dallo spazio

Dieci oggetti spaziali dall'aspetto inquietante scelti dalla redazione di National Geographic per celebrare degnamente Halloween.

Teorema dello gnomone [Aggiornato]

2011-10-26T13:48:00.001+02:00

Ragazzi, (II e III)

attività!

Non allarmatevi per il titolo del post, che è perfino carino, “teorema” a parte, no?

Seguitemi...

- Abbiamo un parallelogramma, tracciamo una sua diagonale e individuiamo in essa un punto.

Se per quel punto conduciamo le parallele ai lati, il parallelogramma rimane scomposto in altri 4 parallelogrammi dei quali i due non attraversati dalla diagonale sono equivalenti.

Ecco la costruzione, potete cliccare e aprire l’applet.

I parallelogrammi non attraversati dalla diagonale sono i due color violetto e sono equivalenti.

Sapreste spiegare il perché? I Matematici dicono, sapreste dimostrarlo?

Provateci, osservate attentamente la costruzione. Si tratta di un parallelogramma, ABCD, suddiviso da una diagonale ...

Il Teorema dello gnomone è descritto nel Libro I degli Elementi di Euclide, Proposizione 43,

[vedi:

[Matematica nella storia] Euclide e anche

[Matematica nella storia] Il teorema di Pitagora negli Elementi di Euclide]

così:

“in ogni parallelogramma i complementi dei parallelogrammi posti intorno alla diagonale sono uguali tra loro”

Da QUI

Per lo gnomone, guardate QUESTA PAGINA.

E noi, abbiamo incontrato gnomoni nelle nostre attività?

Direi di sì! E ...

Divertitevi! Siamo pure in vacanza Oh lo so che voi sorridete, altroché. Seppure senz’acqua!

Ma, spiegate il teorema!! Valuto ...

Aggiorno

Riporto le dimostrazioni.

Gabriele:

Stefano:

Oggi in seconda abbiamo discusso il teorema.

La dimostrazione di Marco D. si può vedere sull'applet poiché Marco spiega passo a passo: c’è qualche integrazione, frutto della discussione in classe.

Spirale degli irrazionali o di Teodoro

2011-10-25T18:24:00.001+02:00

Gabriele

ha ricreato, stavolta con le macro di Geogebra, la spirale degli irrazionali. Clic

Ok, Gabri!

Il sale nell’acqua

2011-10-25T18:02:00.001+02:00

Davì,

quando, studiando la chimica, ci siamo detti che:

“[...nel mare] soltanto una legge che riesco a capire
ha potuto sposare l’idrogeno e l’ossigeno
senza farli scoppiare”

si è posto il problema: ma, come fa ad essere salata l’acqua? Insomma, come si scioglie il sale nell’acqua?

Abbiamo spiegato come si scioglie il Cloruro di sodio, il sale da cucina. Davì, dopo tante peripezie, programma che si bloccava, file scomparso, “è tutto bianco!”, oh, povero Davì !, riporta su geogebra. Clic sull’immagine (si è creato le macro per le molecole e gli atomi):

Bravo Davì!

Ripasso insiemi numerici

2011-10-23T13:11:00.001+02:00

“Le gaie colpiscono ancora!”

Così mi scrivono nell’oggetto della loro mail, Letizia, Maria Chiara ...+ Erica e naturalmente Silvia la secchiona (io copio-incollo, Silvia non esiste da noi in terza, è un loro gioco – chissà cosa vogliono non ammettere ... ?)

Insomma, mi inviano la cronaca della lezione di ieri.

Un nuovo inizio … e ripasso.

Eccola giunta alla nostra classe, la prof Arcadu, tutta pimpante ed euforica, nella sua mente il progetto sullo svolgimento della lezione.

Infatti non vedeva l’ora di presentare il nuovo argomento di matematica.

Ci dice: "Oggi si comincia a operare con i numeri relativi!" E poi:

“Ricordate vero? L'insieme dei numeri relativi, perché si chiamano relativi?" [mai l'avesse fatto, NdP, nota della prof!]

Noi ricordavamo i numeri relativi, introdotti con le sottrazioni non fattibili in N: quelli con il segno + e –. Però: perché si chiamano relativi??? Tutti zitti!

La prof ci ha detto: "oggi fuori ci sono 10 gradi di temperatura", e ci ha chiesto se avessimo qualcosa da contestare, così noi le abbiamo chiesto [non così immediatamente, NdP]: "- 10° o +10° gradi? ".

La sua risposta è stata "oh cari ragazzi è proprio quello che volevo sentirvi dire, allora il valore del numero dipende dal segno che lo precede, è relativo al segno!"

In seguito abbiamo ricordato i vari insiemi recitando [leggendo insieme, allegra … confusione, ahimè! NdP] alcune poesie citate dalla prof durante l’estate facendo riferimento al Prof. Popinga:

L'insieme N: quello dei numeri naturali, è sottoinsieme di Q

L’insieme N

Numeri naturali son quegli enti
che contiamo sulle dita,
senza di lor la nostra vita
sarebbe assi più complicat.
Sol più tardi è stato aggiunto
quel pallin che è lo zero:
per gli antichi era mistero
una cifra valente nient.

Insieme Q: dei numeri razionali (abbiamo anche detto che il numero razionale è un intera classe di equivalenza ovvero un insieme di frazioni equivalenti a una data primitiva, è un quoziente fra due interi, incontrato nelle divisioni non fattibili in N)

L’insieme Q

E’ l’insiem dei razionali,
con la virgola o le frazioni:
corrispondon alle divisioni
tra numeratore e denominator.
Diversamente dai naturali,
non si contan sulle dita:
si rischierebbe persin la vita
a far frazioni delle falang.

Insieme I: dei numeri irrazionali ovvero le radici di numeri non quadrati perfetti e i quozienti fra 2 grandezze incommensurabili (quelle che non hanno sottomultipli in comune, nemmeno l’1) es, Pi greco…

Insieme R (dei numeri reali, quelli che esistono, perché ci sono anche i numeri immaginari!): esso è dato da Q ∪ I=R, include tutti gli insiemi precedentemente elencati. Ma l'insieme Q include l'insieme Z, nel quale abbiamo operato oggi.

Siamo stati in grado di dire, dopo l‘esempio iniziale della prof, che l’insieme Z è l’insieme dei numeri interi relativi quindi Z = Z⁺∪ Z^-ovvero l’unione dei numeri interi relativi, positivi e negativi.

L’insieme Z

E’ l’insiem dei relativi
che sono numeri con il segno:
una trovata di vero ingegno;
senza segno è ‘l valore assolut.
Sol con essi si può fare
ogni tipo di sottrazione:
era proprio contraddizione
togliere sette da cinque dit.

Ecco la rappresentazione dei numeri Reali con il diagramma di Eulero Venn:

Insieme dei numeri Reali relativi include I⁺ e Q⁺ , I^- e Q^-L’insieme Z⁺ è sottoinsieme di Q⁺ e Z^- di Q^- , Z⁺ coincide con N.

La prof ha pensato poi di farci ripassare la

Rappresentazione dei numeri Reali sulla retta

Ha fatto disegnare a tutti sul quaderno una semiretta nella quale abbiamo inserito i numeri naturali ricordandoci che ad ogni numero naturale corrisponde un punto della semiretta ma non è altrettanto vero il contrario, dire che ad ogni punto della semiretta corrisponde un numero naturale.

Per poter avere anche i numeri negativi dovevamo far diventare quella semiretta una retta.

Ora dovevamo riempire di numeri i punti tra due numeri naturali. Abbiamo inserito i numeri razionali, per esempio 3/2:

l'unità, da zero a 1, la dividiamo in 2 parti e ne prendiamo 3, per quanto questa possa essere una spiegazione infantile e banale considerate le nostre conoscenze, ci è stata molto d’aiuto!

Uff… !!!!!!!!!!: neanche con i numeri razionali siamo riusciti a occupare tutti i punti della retta. Cosi abbiamo collocato i numeri irrazionali rispolverando così i lavori precedentemente pubblicati sul blog come il lavoro di Gabriele che ci è stato utile per inserire le radici quadrate:

E, I numeri Reali assoluti sulla semiretta numerica

Naturalmente a sinistra dello zero posizionavamo i negativi, sia razionali che irrazionali. Ora con tutti i Reali, Q ∪ I, abbiamo occupato tutti i punti della retta, come ci aveva anticipato la prof quando eravamo all’inizio del nostro percorso, in prima media.

E finalmente ci siamo dedicati alle prime operazioni in Z: la prima scoperta è stata che in Z si perde un po' la distinzione delle operazioni in: addizione e sottrazione. Si tratta di "fare un bilancio": tra negativi e positivi, come tra debito e credito, soldi che ho in tasca e soldi che devo! Si parla di somme algebriche.

FINE

by, le alunne “croce e delizia”

Brave, delizie! (oh, per esservi dedicate di Sabato pomeriggio, eh eh...)

Raga, da leggere:

I numeri e l’essenza della matematica

Scrivere con Google Chart API

2011-10-21T19:35:00.001+02:00

Segnalo

l’ultima diavoleria del mio amico Roberto.

Write it as ... Write it with ...

Ha creato un gadget Google, un gioco che consiste nello scrivere una parola o una piccola frase (se la frase è lunga ci impazzite un po’) e creare poi un’immagine. Spiego sotto come fare.

Si ottengono immagini di questo tipo:

La seconda io l’ho creata in italiano!

Ragazzi, e lettori, provate a divertirvi cliccando sul link

Write it with ...

in fondo alla pagina di Roberto

Il link apre il gadget:

Scrivete il vostro testo nel campo apposito,

clic su Create URL

Il link appare nel campo Result

Anziché copiarlo e incollarlo nella barra del browser, consiglio di cliccare su Show Image

Si apre una nuova finestra che riporta il link completo, ci cliccate su e, ecco la vostra immagine!

Grazie Roob!

Modello dell’atomo di ossigeno

2011-10-16T19:27:00.001+02:00

Quando gli alunni ti sorprendono!

Beatrice ha trovato in Rete il modello atomico dell’ossigeno e lo ha riprodotto con Geogebra. Fa muovere gli elettroni sugli orbitali. Non poteva essere precisissima, che ne sanno questi piccini, di orbitali s e orbitali p ? Ora mi tocca parlargliene!

Clic sull’immagine

Brava Beaaa!

I compiti per casa ... di chimica!

2011-10-16T11:13:00.001+02:00

Nell’ultima lezione di chimica,

in II, abbiamo cominciato a ‘fare ordine’ fra i composti chimici.

Abbiamo visto che l’ossigeno è molto socievole verso quasi tutti gli altri elementi chimici, infatti con quasi tutti si lega facilmente. - Sapevamo già, ad esempio che quasi tutti i metalli si ossidano all’aria. Tranne i metalli nobili. - Etc, etc, si è parlato degli ossidi, metallici e non metallici.

Per casa, i ragazzi devono preparare dei composti dell’ossigeno sia con i metalli che con i non metalli.

Marco D. ha cominciato con l’anidride carbonica. Ci mostra tutto con geogebra.... Clic su img.

ok, Marco!

Atomi e legami chimici su geogebra

2011-10-15T20:52:00.001+02:00

In seconda

stiamo parlando di atomi, loro struttura, e di come gli elementi chimici si legano gli uni con gli altri per dar luogo alle sostanze.

I ragazzi provano a combinare gli elementi scegliendoli opportunamente sulla tavola periodica.

Ho visto tante belle combinazioni sui quaderni. Stefano ne ha riprodotta una su geogebra. Spiega come il magnesio si lega al fluoro. Clic su img

Davì per il momento mostra su geogebra, il modello atomico di due elementi chimicamente simili. Clic, gli elettroni ruotano

Le immagini del lavoro di Igor

Okk, raga!

Albero aureo

2011-10-12T14:54:00.001+02:00

Differisce da quello di

Barnsley per il coefficiente di omotetia che è pari a k=0,618... ossia 1/phi dove phi=1,618... è la sezione aurea. Altro legame fra sezione aurea e frattali. L’albero è più frondoso ma senza sovrapposizioni delle foglie. Di questo metto l’applet. Clic!

Ancora alberi frattali

2011-10-11T22:13:00.001+02:00

Letizia

ha realizzato un bell’albero frattale, “più realistico” dice lei, rispetto all’albero di Barnsley. Ed è proprio vero.

Ho catturato qualche immagine, modificando le dimensioni sul file. Clic sul primo alberello, sull’applet spiegazioni di Leti!

Sotto, una versione autunnale, la ritrovate anche sull’applet!

Brava Leti!!

Ecco il link per scaricare il file .ggb: alberoLeti.ggb

- Mi arriva ora l’albero di Gabriele! Clic

Bene anche Gabri! – Carina l’icona della macro

Albero di Barnsley

2011-10-10T17:23:00.001+02:00

Frattale

con Geogebra, costruito con due similitudini con coefficiente di omotetia k=0,6 ed angolo di rotazione di 60°.

Da QUI

Similitudine e omotetia

2011-10-08T20:38:00.001+02:00

Gabriele

ha anche eseguito un’attività da me proposta tempo fa..

Similitudine e omotetia con GeoGebra

Clic per aprire l’applet

Criteri di similitudine dei triangoli

2011-10-08T20:06:00.001+02:00

“Ragazzi,

non li abbiamo sul blog, i criteri di similitudine dei triangoli”

Così ho detto in III.

E i giovini, mi hanno accontentato!

- Questo il lavoro di Gabriele. L’immagine del secondo criterio, testi dinamici e enunciati sull’applet geogebra. Clic su img

- Dal lavoro di Maria Chiara e Letizia,

1° criterio

2° criterio:

3° criterio:

Leti e M.Chiara non hanno messo i testi dinamici ma ho verificato la corretta proporzionalità!

Bravi tutti, okk!

Figure simili

2011-10-04T22:38:00.001+02:00

Lavoro di Letizia

clic su figura per aprire l’applet che contiene diverse costruzioni e testi dinamici che mostrano i rapporti di similitudine

Rettangoli simili

2011-10-04T19:43:00.001+02:00

Un esercizio di Gabriele

su Geogebra. I due rettangoli sono simili: sull’applet il testo dinamico mostra l’uguaglianza dei rapporti tra le dimensioni corrispondenti dei rettangoli. Clic su img

‘Pigna’ ... di Pitagora!

2011-10-03T19:41:00.001+02:00

Ragazzi,

questa, trovata in Rete, su questo .pdf, l’ho riprodotta. Certo, con la macro su Geogebra

Sono Variazioni sull’Albero di Pitagora

Il problema della capretta

2011-09-30T18:17:00.001+02:00

Soluzione di Gabriele,

con geogebra, del problema della capretta legata. Clic su img

Per voi di III: vi facilito la ricerca su quanto già indicato.

Talete di Mileto – altra lettura propedeutica …

Ingrandimenti e riduzioni

Similitudine e omotetia con GeoGebra

Talete e l’ombra della piramide

Qualche esercizio sulla similitudine

piano, piano ... Non troppo però!

Alberi di Pitagora

2011-09-28T17:13:00.001+02:00

Attività sui frattali continuano...

Con le macro di Geogebra in terza abbiamo costruito il triangolo di Sierpinski e l’Albero di Pitagora:

Questo il lavoro personale di Gabriele. Clic su immagine

Questa la variante di Erica. Clic

Ancora di Erica l’albero simmetrico

Che si è divertita anche così:

Ma questa non è una figura frattale. Cosa hai sbagliato, Erica??

Per quanto riguarda le macro, avevo anticipato la bravura dei giovini della III.

Com’è come non è .... le due gaie comari Letizia e Maria Chiara raccontano la lezione.

Il più grande spettacolo dopo il Big Bang siamo noi e, come abbiamo dimostrato stamattina, siamo dotati di un eccezionale sesto senso.[No, non sono immodeste le belle... intendono in realtà tessere le lodi di un loro compagno!]

Infatti stamattina dopo aver introdotto l’argomento dei frattali, abbiamo parlato dell’Albero pitagorico: un esempio di frattale.

La professoressa ci ha dato una dritta per la costruzione: “Costruite per prima cosa un triangolo rettangolo isoscele posizionando il vertice superiormente e la base orizzontalmente. - Chi mi sa dire come costruire correttamente il triangolo in questo modo?”

Noi le abbiamo risposto che una volta tracciato un segmento AB (la base del triangolo) avremmo dovuto costruire una semicirconferenza AB, poi tracciare l’asse del segmento: l’intersezione semicirconferenza-asse è il vertice del triangolo isoscele. A questo punto la sua domanda è stata: “Come fate ad essere certi che sia effettivamente un triangolo rettangolo?”

Bachisio ha esposto la sua ipotesi: “E’ un triangolo rettangolo perché se faccio ruotare il triangolo di 180° ottengo un quadrato e quindi sono sicuro che l’angolo in C è rettangolo”

Alla professoressa è piaciuta molto la risposta di Bachisio e lo ha lodato, ma mirava anche a farci ricordare un’altra dimostrazione e ci ha incitato dicendo: “ L’abbiamo vista più volte, studiando cerchi e circonferenze e (per farci ricordare ...) “o se del mezzo cerchio ...” e noi abbiamo continuato: ‘’far si pote triangol sì ch'un retto non avesse”

Un po’ tutti ci siamo ricordati la citazione di Dante.

Ma non ricordavamo la proprietà, allora la prof ha abbozzato alla lavagna la seguente figura:

E ci ha domandato: “Ora sapete dirmi in che relazione stanno l’angolo alla circonferenza e quello al centro?”

La nostra risposta è stata: “La relazione è 1:2”

Chiusa questa parentesi, abbiamo proseguito la nostra costruzione sulla Lim, costruendo i quadrati su ogni lato e applicando così il teorema di Pitagora.

Dato che dovevamo ripetere l’operazione diverse volte siamo ricorsi all’uso della macro che, come avevamo detto l’ora precedente, consiste nel dare delle istruzioni a un programma, che consentono di eseguire una serie di operazioni con l'invio di un solo comando.

In questo caso le macro da usare sarebbero dovute essere 2 (o perlomeno secondo i calcoli della professoressa) ma come abbiamo accennato all’inizio di questa relazione (il più grande spettacolo ...), Gabriele si è dimostrato più furbo della professoressa. In quanto è stato in grado di ripetere le stesse operazioni utilizzando una sola macro: costruisco il quadrato e sul lato superiore il triangolo rettangolo e poi dò come oggetti iniziali i vertici di origine del quadrato.

Applauso della prof!!!

Fondamentalmente in una macro bisogna inserire 2 dati: gli oggetti finali e quelli iniziali. Gli oggetti finali sono quelli ai quali voglio arrivare senza tanti passaggi mentre quelli iniziali sono quelli dai quali parto per arrivare agli oggetti finali.

La professoressa metteva negli oggetti finali il quadrato più grande, e negli oggetti iniziali metteva i punti A e B del segmento di partenza. Così facendo le sarebbe servita anche un’altra macro per il triangolo. Secondo il metodo di Gabriele invece ci saremmo serviti di una sola macro considerando come oggetti finali il triangolo, i suoi vertici e il quadrato e come oggetti iniziali i punti A e B che danno origine al quadrato. Ed è così che la nostra lezione si è conclusa. Ciao!

Benissimo, frizzanti comari...

Ora tenetevi pronte: la prof sta per fare altre domande sull’Albero di Pitagora!

Anticipo? Ok, anticipo:

- Qual è il rapporto tra i lati da un passaggio all’altro, nella costruzione dell’albero di Pitagora quando il triangolo rettangolo è isoscele?

- Il numero dei quadrati ad ogni iterazione è il doppio di quello della precedente: quanti quadrati ci saranno alla decima iterazione? E alla n_esima iterazione?

- Altra osservazione: non vi sembra che ciascuno dei rami dell'albero descriva una spirale? Che tipo di spirale? Compito: cercare spirali sul blog, confrontare e scoprire il tipo (le spirali non sono tutte uguali) !

[Tutoriali] Creare una macro con Geogebra

2011-09-27T17:27:00.001+02:00

Per i ragazzi della seconda.

[In terza abbiamo sperimentato, e creato, stamane. E che bravi ... diremo diremo...!]

Ragazzi, il breve video vi mostra come creare una macro per la costruzione di un quadrato con Geogebra.

Naturalmente questo è un piccolo esempio per iniziare. Altre macro, per costruzioni più complesse, come possono essere quelle frattali, impareremo a crearle discutendo insieme in classe. Nel frattempo voi potete esercitarvi, provare, creando qualche altra macro per semplici figure.

Buone macro!

Creazione macro per costruire un quadrato. Con Geogebra

Tartaglia e Sierpinski

2011-09-27T15:05:00.001+02:00

di Letizia (III)

Leti ha creato con Geogebra, una bella costruzione.

Spiega tutto lei sull’applet! Clic su img

Ha ancora arricchito, sempre Letizia, il lavoro con Excel. Si può cliccare sulle immagini per ingrandire

Brava, Leti!

Il nostro primo frattale ... [Aggiornato]

2011-09-26T12:39:00.001+02:00

Marco D.

è stato il primo a indagare sui frattali!

E, dal Tartaglia pari-dispari

ha scoperto il Sierpinski. E lo ha realizzato con geogebra.

Bravo Marco, lavorone! –tutti quei triangoli... Più sotto dirò..

Marco ha preparato anche una breve presentazione Power Point dove raccoglie le immagini trovate in Rete

I frattali

Dicevo: lavorone... che vi insegnerò a velocizzare!

Quando si ha a che fare con delle costruzioni da iterare, che vuol dire ripetere qualcosa più volte, utilizzando dei procedimenti ricorsivi, cioè operando in modo ripetitivo, come succede ad esempio nella costruzione di un frattale,

si può ricorrere alle macro: sono delle istruzioni che possiamo dare a un programma, che consentono di ottenere una serie di operazioni con l'invio di un solo comando. La realizzazione della costruzione risulta perciò molto più rapida!

Preparerò al più presto un piccolo esempio e una scheda di lavoro. Ne parliamo intanto in classe...

[Aggiorno]

Marco ha appena costruito il Sierpinski anche creandosi la macro! E’ stato molto bravo!

I ragazzi di seconda non possono vedere gli esempi con geogebra in classe. Fanno tutto da soli a casa solo dopo spiegazioni e simulazioni alla lavagna. Doppiamente bravi!

- Arriva anche il Sierpinski di Beatrice, costruito con macro! Ecco l’immagine.

è l’icona della macro di Bea!

Anche Davì ha lavorato con le macro. Il suo triangolo:

E ora, carissimi, aspetto la fantasia!!

Intanto vi regalo questo:

Da Rio Bo a Rio Mandelbrot

Voi conoscete la poesia Rio Bo?? Se non la conoscete, conoscetela! Da Maestra Renata, poesia, video e Geogebra!

Grazie, Maestra Renata!

Per la terza (ma anche per la seconda)

2011-09-25T15:10:00.000+02:00

So che non avete visto,

vedete!

In III abbiamo già cominciato ... ma un po’ anche in II!

Lavoriamo con le lettere

Per la seconda!

2011-09-23T17:39:00.001+02:00

Per ripassare

la divisibilità, per acquisire migliore consapevolezza, per allenarsi nel calcolo, ecc...

piacevolmente (!) ,

qualche link:

Per ripassare la divisibilità

(curiose particolarità ...! fate clic sui link del post, chiedete se ci sono problemi)

Regolarità nella successione dei numeri pari

(non vi dico nulla tranne: apprezzate... )

Minimo comune multiplo mediante un’operazione tra insiemi

(bello!)

Cruci_divisibilità

(Excel da scaricare. Divertitevi!)

Non dovete fare tutto insieme! Scegliete voi da dove cominciare maaaa,

Martedì vi voglio più preparati! Per domani, esercizi assegnati

I pari e i dispari...

2011-09-22T11:49:00.001+02:00

sul nostro Triangolo Magico!

Io l’ho detto che dopo il lavoro di Davì avrebbero fatto da soli...!

Beatrice ha pensato di colorare i numeri pari o quelli dispari, del Triangolo di Tartaglia.

Ed ecco il suo lavoro su Geogebra.

Ho dato una mano a Bea, per rendere meno noiosa la costruzione [per tutti: per avere il triangolo nella posizione 1 dello slider lo abbiamo traslato di un vettore di piccola dimensione, poi nascosto]

Come vedete, inoltre, abbiamo potuto nascondere i numeri: perché in questo caso non ci interessa molto sapere il valore esatto dei vari elementi del Triangolo di Tartaglia: ci interessa l’effetto! Solo se gli elementi sono pari o dispari.

Provate infatti, sull’applet, a zoomare, con lo strumento zoom_indietro (rimpicciolire): non vedete un effetto merletto?

E’ un tipo di frattale!

E, via ora alla ricerca degli oggetti geometrici Frattali!

- Non vi avevo detto che il ‘magico triangolo‘ ci avrebbe trascinato verso tante meraviglie?

Clic su immagine:

Bene, Bea!

Tartagliamo ...

2011-09-20T22:06:00.001+02:00

ma mica farfugliamo!

Arriva un’altra bella applet geogebra di Gabriele (III) che illustra 3 regolarità. Clic su img

E ...

Davì (II) ha continuato l’esplorazione e ha trovato:

Davì, lavorone anche tu: tutti quei numeri con geogebra! Doppiamente bravo !

E ora io posso riposare ... Continuate da soli ...............!

Carino, potrebbe piacervi!

2011-09-20T14:35:00.001+02:00

Una divertente

e coloratissima applicazione gratuita disponibile nel sito web della Pelikan, permette di creare e stampare tabelle per l'orario scolastico settimanale.
Basta scegliere uno degli sfondi disponibili e aggiungere una vostra foto. Volendo, potrete riempire con la vostra immagine tutta la tabella.
A quel punto non resta che inserire gli orari e le discipline nei vari campi.

Via Maestro Roberto – grazie, Roberto!

Da cui vi segnalo, in particolare per i raga di III:

Conoscere l'energia: I quaderni del sole

Vero che ci interessa??? Ri-grazie, Roberto!

PS: per Letizia e Maria Chiara che si sono interessate a “I quaderni del sole”: anche a me ha dato noie la navigazione on line del software. L’ho quindi scaricato, decompresso (estratto) e lanciando il file autorun.bat, che si trova nella cartella estratta, funziona perfettamente. Lo porterò comunque a scuola.

Tartaglia con Excel

2011-09-19T15:51:00.001+02:00

Come promesso,

il lavoro di Letizia (III). Che ci spiega, con il suo garbo ...

Dopo averci presentato il Triangolo, la prof ci ha chiesto come prima cosa di individuare le proprietà e regolarità più semplici.
Subito siamo stati capaci di dire che ogni numero è dato dalla somma dei due che stanno sopra di esso.

Un altro aspetto che abbiamo colto all'istante, sono le diagonali esterne che fungono da lati, costituite da una serie di 1, mentre le due diagonali a seguire sono costituite dalla successione dei numeri naturali.

Successivamente abbiamo concepito che questo triangolo è un caso di simmetria assiale, ovvero una figura simmetrica.

Continuando i nostri studi, abbiamo avuto modo di scoprire altre importanti proprietà.

Per esempio abbiamo intuito che le somme dei numeri presenti in ogni riga sono le potenze di 2 e siamo anche riusciti a mettere a punto che la terza diagonale è composta dai numeri triangolari che, come ci siamo ricordati, sono dati dalla somma in successione, dei numeri naturali.

Es: 3 = 1 + 2; 6 = 1 + 2 +3; 10 = 1 + 2 + 3 + 4

E, la serie di Fibonacci:

si può scaricare TARTAGLIA.xls (clic su Data ultima modifica)

Brava, Letizia!

I lavori!

2011-09-19T10:51:00.001+02:00

Arrivano ...

Per stamane

Il Triangolo di Tartaglia visto da Beatrice (II):

mazza da hockey!
(questa, Bea, non ce l’avevi raccontata!)

Posizioni simmetriche

I numeri centrali ...

Le potenze di 2

I numeri triangolari

Le potenze di 11

(per le righe successive subentra un meccanismo che Bea non ricordava bene)

La successione di Fibonacci
(che vediamo anche sull’applet: gratifico Bea, che ha animato con slider ciascuna costruzione! Clic su immagine)

Bea, sei stata davvero brava. Lavorone!

questo pomeriggio il lavoro di Letizia (III) su Excel

Il Triangolo è di Tartaglia!

2011-09-17T18:06:00.001+02:00

Eh sì,

oggi non abbiamo più potuto nasconderlo. O meglio, abbiamo potuto rivelare che Il triangolo ... molto speciale è il Triangolo di Tartaglia.

Questo perché i miei croceedelizia (e va bene, meno croce, più delizia) lo hanno ormai sviscerato!

Dopo l’anticipo di ieri, oggi è stato bellissimo! Vado alla rinfusa, è venuto fuori:

1) Potenze di 2 e di 11: ripassato potenze, proprietà, °, ² *³, (in II – ciao Guz!) ecc... benissimo, ragazzi, entrambe le classi!

2) numeri triangolari: ricordato Pitagora e Tutto è numero e i sassolini e sacra decade e gli allievi dietro la tenda...

3) Niccolò Tartaglia (in III soprattutto; ragazzi, metto il link per voi di III, per chi vuole approfondire Quando che 'l cubo... attraverso il link del post e per voi di II). Il triangolo a noi piace chiamarlo di Tartaglia perché Niccolò Fontana ci sta molto simpatico!

4) La successione di Fibonacci: ricordato filius Bonacci e le cifre arabo-indiane, e le pigne e il cavolfiore, l’ananas....

5) Una regolarità “tutta di Bea” ci ha portato a ripassare la divisibilità: bene o benino. Bravo Giovanni! E, è VERO che se un numero è divisibile per 9 è sempre divisibile per 3, ma che un numero divisibile per 3 è sempre divisibile per 9 è FALSO. E, ahi però, le divisioni e le tabelline! (ma quanto ci stanno... Tuttavia, non possiamo far brutte figure con i prof delle superiori!!!)

I ragazzi ora produrranno le loro testimonianze! Molte cose le ho viste sui quaderni, di alcune eseguirò la scansione, altre le aspetto in formato digitale (promesse!)

E, non è mica finita qui, o ragazzi (ma forse già l’ho detto) : c’è dell’altro con cui divertirsi, belle immagini dovranno venir fuori.

E, più avanti in III, sfrutteremo il Triangolo quando tratteremo l’algebra un po’ più avanzata! - speriamo!

Siamo ripartiti!

2011-09-16T17:46:00.001+02:00

Ragazzi,

nell’attesa dei vostri “racconti”, intesi come lavori, scoperte, creazioni ... ,

può esservi comodo, e anche per comunicarlo ai genitori, un riepilogo della nostra prima giornata di lezione, dopo quella del benritrovati!

In entrambe le classi, II e III sez A, dopo esserci scambiati propositi, progetti, aspirazioni (ho ascoltato davvero dei bei “progetti”) , aver ricordato regole e stipulato patti (che sarà necessario, ogni tanto, rinfrescare...), aver sottolineato la straordinarietà di ciascuno di noi, che a volte un po’ più difficilmente affiora, perciò ripromessi di aiutarci l’un l’altro perché ciò avvenga,

siamo ripartiti con le nostre attività!

In II:

Ci si proponeva per domani (libro di testo!) la ripresa del calcolo con le frazioni. Però: con le frazioni. Ma con i numeri razionali!

Si ... qualcuno dei ragazzi ha visto la mappa, pubblicata recentemente.

Quindi, la classe è ora più o diversamente eterogenea rispetto all’anno scorso, siamo ripartiti dall’esigenza di ampliamento dell’insieme N dei numeri naturali: per via di quelle divisioni non fattibili in N.

Abbiamo ricordato: perché razionali? Origine del termine razionali: dal latino ratio come, abbiamo faticato un po’ ma ce l’abbiamo fatta, ragione, nel senso di rapporto, quoziente.

E ancora, infatti: l’insieme dei razionali viene indicato con la Q maiuscola. Q sta per quoziente!

E poi abbiamo disegnato:

che è un diagramma di Eulero-Venn e i signori Eulero e Venn non si sono neppure mai incontrati ... (vi invito a leggere QUESTO, ragazzi)

e abbiamo messo dentro: 2/3, 3/4, 18/8 (oppure 9/4 che è primitiva. “Sì sì, sono equivalenti, per l’invariantiva...”), ecc...

Ma abbiamo potuto mettere anche: 5, 8, ..... perché 5 = 5/1 e “tutti i naturali il denominatore, sottinteso, lo hanno: è l’1”, ma anche: 5 = 10/2, 15/3, ecc ... (su questo torneremo ancora).

E allora: N è un sottoinsieme di Q, N è incluso in Q, N ⊂ Q [per il momento va bene così] e:

così possiamo sistemare meglio i numeri razionali! E tutti, o quasi, hanno sistemato qualche numero ...

Sull’argomento, non vorrei ricordare male, non abbiamo detto altro...

Perché volevamo divertirci con il Triangolo!

E lo abbiamo fatto anche in III

Capita la costruzione, son già venute fuori delle belle cosette:

in III:

1) il triangolo è simmetrico (richiami su simmetria... per i nuovi! Bravi eh: hanno sistemato correttamente le dita della mia mano che si specchiava...!) rispetto a un asse che lo taglia centralmente (simmetria assiale)

2) la seconda diagonale è costituita dalla successione dei naturali

(in terza non abbiamo avuto altro tempo)

In II:

punto 2 precedente

3) Marco D. ha ritrovato i numeri triangolari

4) Giovanni ha cominciato a dire che: di riga in riga si moltiplica per due. Questa dobbiamo puntualizzarla...

5) Beatrice cominciava a vedere le potenze di 11

Fine dell’ora!

Io aspetto lavori che certifichino le scoperte!

Primo giorno di scuola. Vorrei ...

2011-09-12T18:47:00.001+02:00

Dedicato a voi, ragazzi

e a me!

Da un bell’articolo trovato in rete. Leggetelo con calma, meglio se con i vostri genitori. Prendete quanto più potete ...

Il primo giorno (di scuola) che vorrei

Che cosa avrei voluto sentirmi dire il primo giorno di scuola dai miei professori o cosa vorrei che mi dicessero se tornassi studente?

Il racconto delle vacanze? No. Quelle dei miei compagni? No. Saprei già tutto. Devi studiare? Sarà difficile? Bisognerà impegnarsi di più? No, no grazie. Lo so. Per questo sto qui, e poi dall’orecchio dei doveri non ci sento. Ditemi qualcosa di diverso, di nuovo, perché io non cominci ad annoiarmi da subito, ma mi venga almeno un po’ voglia di cominciarlo quest’anno scolastico. Dall’orecchio della passione ci sento benissimo.

Dimostratemi che vale la pena stare qui per un anno intero ad ascoltarvi. Ditemi per favore che tutto questo c’entra con la vita di tutti i giorni, che mi aiuterà a capire meglio il mondo e me stesso, che insomma ne vale la pena di stare qua.

Dimostratemi, soprattutto con le vostre vite, che lo sforzo che devo fare potrebbe riempire la mia vita come riempie la vostra. Avete dedicato studi, sforzi e sogni per insegnarmi la vostra materia, adesso dimostratemi che è tutto vero, che voi siete i mediatori di qualcosa di desiderabile e indispensabile, che voi possedete e volete regalarmi.

Dimostratemi che perdete il sonno per insegnare quelle cose che – dite – valgono i miei sforzi. Voglio guardarli bene i vostri occhi e se non brillano mi annoierò, ve lo dico prima, e farò altro. Non potete mentirmi. Se non ci credete voi, perché dovrei farlo io?

[...] Parlatemi di quanto amate la forza del sole che brucia da 5 miliardi di anni e trasforma il suo idrogeno in luce, vita, energia. [...] Ditemi come è possibile che la rosa abbia i petali disposti secondo una proporzione divina infallibile e perché il cuore è un muscolo che batte involontariamente e come fa l’occhio a trasformare la luce in immagini.

Ci sono così tante cose in questo mondo che non so e che voi potreste spiegarmi, con gli occhi che vi brillano, perché solo lo stupore conosce.

[...] E ditemi il segreto dell’uomo che crea bellezza e costringe tutti a migliorarsi al solo respirarla.

[...] Aiutatemi a scovare i miei talenti, le mie passioni e i miei sogni. E ricordatevi che ci riuscirete solo se li avete anche voi i vostri sogni, progetti, passioni. Altrimenti come farò a credervi? E ricordatemi che la mia vita è una vita irripetibile, fatta per la grandezza, e aiutatemi a non accontentarmi di consumare piccoli piaceri reali e virtuali, che sul momento mi soddisfano, ma sotto sotto sotto mi annoiano…

Sfidatemi, mettete alla prova le mie qualità migliori, segnatevele su un registro, oltre a quei voti che poi rimangono sempre gli stessi. Aiutatemi a non illudermi, a non vivere di sogni campati in aria, ma allo stesso tempo insegnatemi a sognare e ad acquisire la pazienza per realizzarli quei sogni, facendoli diventare progetti.

Insegnatemi a ragionare, perché non prenda le mie idee dai luoghi comuni, dal pensiero dominante, dal pensiero non pensato. Aiutatemi a essere libero.

[...] Non nascondetemi le battaglie, ma rendetemi forte per poterle affrontare e non avvelenate le mie speranze, prima ancora che io le abbia concepite.

Per questo, un giorno, vi ricorderò.

L’articolo completo, da Prof. 2.0

Buon anno scolastico, ragazzi e famiglie.

... io vorrò ascoltare i vostri “vorrei...” . Poi vi dirò i miei!

Sul triangolo ... speciale!

2011-09-08T15:45:00.001+02:00

Poiché non resisto ...

Comincio con il pubblicare le prime costruzioni pervenutemi!

Ah, su QUESTO!

Bea, e chi dubitava?, ha lavorato su geogebra. Clic su img per aprire la sua costruzione (con slider...). Lei già lo chiama triangolo magico!

Davide D. invece ha utilizzato Excel: con formule! Il suo file, QUI (Triangolo speciale 1.xlsx)

Bravi, ragazzi! Ora dobbiamo darci da fare per scoprire ... cose, cose...

Attenzione: non si tratta in verità di scoprire, si tratta di saper ritrovare regolarità che ben conosciamo. Suvvia, coraggio!

Che ore sono?

2011-09-06T17:38:00.001+02:00

Per rilassarci ancora un po’...

Ragazzi, osservate quant’è elegante! E originale, l’orologio qui sotto!

Ma come sono scritte queste ore? Lo so, facile!

Che ore segna l’orologio?

Mi piacerebbe, con spiegazione...

Segnalato da un’amica

PS: leggere il post subito sotto! (per chi ancora non ha visto)

Un Triangolo ...

2011-09-05T12:56:00.001+02:00

molto speciale!

Ecco, ragazzi (tutti), una bella bella attività!

Osservate la prima porzione

Nooo, non si tratta di una serie di 1! E’ tutto da scoprire: ECCOQUI

Dopo aver capito come si costruisce, dopo aver, eventualmente, proseguito sull’applet geogebra o realizzato una vostra costruzione, cominciate a costruire il Triangolo (dovrete costruirne uno a testa) anche su un foglio doppio di quadernone (meglio se con quadretti grandi).
Dovrete averne più di una copia, fotocopiate. Vi proporrò in seguito delle attività che ci condurranno alla scoperta di alcune magnifiche proprietà di questo triangolo, che ... potrebbe rivelarsi come uno dei personaggi più simpatici di tutta la matematica!

- Se poi qualcuno di voi vuol cominciare ad aprire le indagini, osservando la costruzione ... oh, benissimo!!! Scrivete tutto ciò che rilevate!

Giocagio’-vini!

2011-09-03T16:15:00.001+02:00

Aspettando che giochiate ...

Tre giochi:

N° 1

Le colonne di Nathalie

- Nathalie ha già disposto i numeri 1, 3, 5 e 7 in questa griglia quadrata

Vuole ora disporre tre 2, tre 4, tre 6 e tre 8. La somma dei numeri in ciascuna colonna deve essere la stessa.

Qual è questa somma?

_________

N° 2

L’uguaglianza

- Distribuite i numeri 3, 5, 7, 8 nei cerchi in maniera tale che l’uguaglianza sia vera

_________

N° 3

Quadrati (numeri)

Louisette ha eseguito le seguenti moltiplicazioni

9 * 9 = 81
99 * 99 = 9.801
999 * 999 = 998.001

Sulla base dei risultati,

qual è il quadrato di 99.999?

- vietato calcolare e tanto meno uso Excel o calcolatrice! Tant’è: spiegare ragionamenti!

Quadrato in due parti uguali

2011-09-01T18:56:00.001+02:00

QUI

il prof D. Mentrard mostra più modi per suddividere un quadrato in due parti congruenti

Ci invita trovarne degli altri. Io ho suddiviso così. Clic su img

Ora tocca a voi! Chi è il più bravo?

Aggiorno con una bissezione quadrato ‘multipla’. Clic!

Frazione come operatore

2011-08-27T16:48:00.001+02:00

Ragazzi,

ci siete? dove siete? siete rientrati?

Ok, se leggete, vista la mappa del post sotto?

E ora, vedete un po’ se vi ... ritrovate! Ma sì, figuriamoci se no!

Osservate le figure:

a) Uno di questi triangoli ha i 5\8 della sua area colorati. Individua qual è.

b) Quale triangolo ha la parte maggiore di area colorata rispetto agli altri due?

c) Quale frazione della sua area è colorata?

d) Quale frazione del triangolo C è colorata?

Ancora da Questo Lavoro

Mappa concettuale sui numeri razionali

2011-08-27T12:55:00.001+02:00

In seconda,

dovremo riprendere, recuperare, sviluppare o verificare conoscenze e competenze sulle Frazioni e Numeri Razionali

Clic per ingrandire

elaborata da un gruppo di ricerca IPRASE

10–11 cerchi

2011-08-22T12:56:00.001+02:00

Sono sempre sangaku,

questi sono gli ultimi, l’estate sta finendo ...

Sono belli da vedere, belli da costruire, e poi: il cerchio, la più bella figura geometrica, quella che Platone considerava, assieme al quadrato, come assolutamente bello in sé.

E allora abbondiamo!

Qui sotto sono 10 cerchi (è spiegato tutto sull’applet. Clic sulla prima immagine, l’applet contiene entrambe le costruzioni)

Questi altri sono 11 cerchi

Cerchi tangenti

2011-08-20T15:36:00.001+02:00

o Kissing Circles,

tanto per costruire...

Ho riprodotto per i ragazzi, le costruzioni del prof. Gettys. Che ringrazio.

Tangenti_1

La retta b è tangente al cerchio c nel punto C. D è un altro punto su c. Costruire il cerchio tangente alla retta b e al cerchio c nel punto D.

Clic

Tangenti_2

Osservare la figura e costruire il cerchio di raggio r, tangente alla retta a e alla circonferenza c

Clic

Triangolo equilatero con quattro cerchi

2011-08-18T12:16:00.001+02:00

Questo per me è difficile!

Infatti è QUI, sulla destra ...

Allora lo propongo per qualche mio lettore Matematico, bravo matematico, che eventualmente abbia voglia di risolvere.

- eddai, io curiosa, no brava!

Clic su img, si aprirà anche la finestra applicazione. [La mia costruzione, più semplice dell’originale! ]

Esprimere l in funzione di L

Grazie!

Un cerchio e due triangoli

2011-08-15T09:58:00.001+02:00

Ancora un sangaku,

da qui.

Stavolta un po’ più impegnativo per noi [attenzione, le proprietà geometriche dobbiamo ritrovarle, sono più impegnativi i passaggi matematici]. Metto la soluzione, non prima di un aiuto, per provare a riflettere, per la discussione in classe, o per l’eventuale lettore che volesse risolvere da sé. Giusto per i ragazzi, i passaggi matematici sono forse sovrabbondanti...!

Clic su img

Sangaku

2011-08-14T08:29:00.001+02:00

Il Sangaku,

letteralmente le “tavolette del tempio”, è una tradizione giapponese, popolare durante il periodo Edo (1603-1867), che celebra la bellezza della geometria.
Il tradizionale sangaku è una tavoletta di legno su cui è scritto con vernice colorata, un problema geometrico.

Sangaku proveniente dalla Prefettura di Ehime (Giappone)

Le tavole venivano esposte da chi trovava una proprietà geometrica interessante o riusciva a risolvere un problema, come offerta nei templi buddisti e nei santuari shintoisti, come una composizione per invitare a riflettere e capire. Molte sono così belle che sono considerate opere d'arte.

Sebbene la maggior parte di questi sangaku siano stati persi, se ne ritrovano quasi 900, sparsi in tutto il Giappone. Il libro Sacred Mathematics - Japanese Temple Geometry di Fukagawa Hidetoshi e Tony Rothman contiene i meravigliosi aspetti della storia della matematica giapponese, così come molti esempi di sangaku.

Per la maggior parte i sangaku trattano argomenti di geometria euclidea, [...]: cerchi ed ellissi inscritti l’uno nell’altro la fanno da padrone, unitamente a settori circolari (rappresentati come ventagli); alcuni dei problemi sono ragionevolmente semplici mentre altri sembrano quasi impossibili e risolubili solo attraverso il calcolo differenziale. Per saperne di più ...

A questa pagina si trovano numerosi esempi di sangaku, alcuni non troppo difficili.

Ne ho scelto per ora uno accessibile anche a noi! Sarà una nostra attività. C’è da utilizzare informazioni e saper vedere gli elementi in altra ottica ...

I quattro cerchi. Clic per aprire il GeoGebra, riprodotto per voi con aiuto.

Le ballerine

2011-08-11T12:19:00.001+02:00

Ancora un gioco logico

Chiara ha spedito questa fotografia alla sua corrispondente francese Stephanie.
Ha pensato di farsi riconoscere dalla sua nuova amica attraverso degli indizi che contemporaneamente le permettono anche di presentare le ragazze del suo gruppo di danza. Così scrive nella lettera:

Cara Stephanie,
ti mando una delle mie foto preferite perché è quella che mi ritrae mentre sto danzando con le mie amiche.
- C’è Francesca che ha le braccia sopra la testa, la mia stessa gamba alzata ed il vestito dello stesso colore di quello di Elena;
- Elena alza la stessa gamba di Giorgia;
- Giorgia ha il vestito dello stesso colore di quello di Paola,
- il vestito di Paola è diverso da quello di Ilaria;
- il mio vestito è come quello di Ilaria e certamente vedi che
- le mie braccia non sono nella stessa posizione di quelle di Paola!
Spero di ricevere al più presto una tua risposta con la sequenza giusta dei nomi: così sarò sicura che mi hai riconosciuta!
Chiara

Aiutate Stephanie ad individuare Chiara e le sue amiche.
Spiegate il vostro ragionamento.

Clic su img, ovviamente ... Come al solito, avrete il riscontro.