lunedì 6 marzo 2017

Due a settimana …_19

Via con i nuovi quesiti.

Il prof. Davide e io tutte le volte fingiamo ritardo nelle pubblicazioni delle soluzioni, in realtà vogliamo farvi riposare anche una settimana intera! Non potete dunque lamentarvi. Così, di buona lena, preparatevi a leggere, con la solita attenzione e, come dice il prof anche nei commenti, a far girare gli ingranaggi mentali!

Tre quesiti …. carini  Smile

Quesito 1, aritmetico

Le lettere a, b, c rappresentano tre cifre diverse. Sommando le cifre del numero di tre cifre aba si ottiene il numero di due cifre bc.
Sommando le cifre di quest’ultimo numero si ottiene il numero (di una cifra) b.
Quale cifra rappresenta la lettera a?

Aiutino? Io cercherei prima il valore della lettera b 


Quesito 2 geometrico

Il rettangolo ABCD ha perimetro lungo 30 cm. Altri tre rettangoli hanno il loro centro nei vertici A, B e D e lati paralleli a quelli di ABCD (come mostrato in figura). La somma dei perimetri di questi ultimi è 20 cm.
Quanti centimetri è lungo il contorno disegnato a tratto spesso?

image Aiutino? Facciamo senza aiutino, suvvìa!

Il

Quesito 3 è riservato alle classi seconda e terza.

Si vogliono installare dei pannelli solari sul tetto di un box auto. La superficie su cui poggeranno i pannelli deve essere inclinata per ricevere i raggi del sole nel modo più efficace. Il progetto è schematizzato nella figura.

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Quanto misura la superficie che ospiterà i pannelli solari?

Decido stavolta di astenermi dalle raccomandazioni, auguro solo Buone soluzioni a tutti!

La scadenza: lunedì 20 marzo 2017

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domenica 5 marzo 2017

Sarà mica matematica 43, le nostre soluzioni.

Con uno spaventoso ritardo,

finalmente le soluzioni del

Sarà mica 43

Dico subito che sia in prima che in seconda, questi giochi ci hanno permesso/costretto a imparare, in men che non si dica, delle belle cosette. Motivo in più per ringraziare il prof Davide! E devo dire che non è andata poi così male. Certo, si può sempre far di meglio ma, tirate le somme, ok!

Ebbene,

Quesito 1 griglia e pallini (o dischetti)

Solutori e soluzioni classe prima:

Gabriella:

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Sofia:

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Stefano B. (pubblico ok, enormemente indecisa se farlo o meno)

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Stefano P. Senza griglia ma mi paiono corrette

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Antonio:

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Margherita:

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Soluzioni e solutori classe seconda:

Antonio:

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Davide:

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Maria:

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Andrea, trova un’infinità di soluzioni, non so se ci sono doppioni!

Per chi ha trovato diverse soluzioni prendo buone le varie simmetrie, rotazioni, ecc..

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Anche Paola, tante soluzioni… image

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Yuri:

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Luca:

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Aurora:

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Roberta:

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Marta D. mi consegna 8 soluzioni su foglietto.

 

Quesito 2, nella figura sotto si chiedeva l'ampiezza dell'angolo DCG, conosciuta quella dell’angolo in B

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Sono stati bravi per la prima:

Gabriella:

Per risolvere il problema prima ho riconosciuto il triangolo isoscele BEC: due lati erano uguali perché tracciati dai lati dei quadrati; dal momento che il triangolo isoscele ha due angoli uguali (quelli alla base) e uno diverso (quello al vertice) ho seguito questo procedimento:

- 70° +70° = 140° cioè la somma degli angoli alla base
- 180°-140°= 40° per trovare l’ampiezza dell'angolo al vertice
- 90°+90°+40°= 220° somma degli angoli dei quadrati più l'angolo al vertice che servirà per sapere l'ampiezza dell'angolo C
- 360°-220°=140° ampiezza dell’angolo C

Fabio:

allora: i 2 quadrati formano un triangolo isoscele, in esso ci sono 2 angoli e 2 lati uguali. Uno degli angoli alla base misura 70°, quindi anche l'altro. Insieme quindi misurano 140°. Ma in ogni triangolo del mondo la somma degli angoli è di 180° quindi 180° - 140°= 40°. Di conseguenza l'angolo al vertice è di 40°.  Mentre nei quadrati ogni angolo misura 90° quindi 90°+90°= 180°; addizionando tutti questi angoli sto formando un angolo giro che misura 360°, ora li addiziono tutti: 40° = angolo al vertice  180° = angoli dei quadrati e siamo a 220°. Ma devo arrivare a 360° quindi 360° - 220° = 140° quindi l'angolo DCG misura 140°

Sofia, che con Geogebra fa una bella figura (mentre altri proprio no Smile)

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Sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180° e che uno misura 70°, e il triangolo essendo isoscele perché due lati del triangolo corrispondono ai due lati dei quadrati che sono congruenti, è presente un altro angolo da 70°, quindi l'angolo al vertice è di 40°. Prendo in considerazione gli angoli dei quadrati, che misurano 90°, vicini all'angolo da 40° del triangolo.
Sommo i 3 angoli vicini ottenendo 220° poi tolgo da 360°, l'ampiezza dell'angolo giro, 220° e ottengo 140° cioè l'ampiezza dell'angolo rosso.

Stefano P.:

mi sono calcolato l'ampiezza dell'angolo BCE, sapendo che la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è 180°. L' angolo in E è 70° come quello in B [Ste’, non spieghi perché], quindi 70° + 70° = 140° e 180° - 140° = 40°.

Poi ho considerato l'angolo giro in C e ho fatto 360° - 40° = 320°. Ho tolto anche i 2 angoli da 90° dei quadrati: 320° - 180° = 140°.

L' ampiezza dell' angolo DCG è di 140°.

Ludovica:

L'angolo DCG misura 140° perché ho eseguito ciò:
ho sommato gli angoli del triangolo isoscele (un lato disuguale e due uguali, perché condivide quei due lati con un quadrato), 70°+70°=140°, che ho eseguito per trovare il terzo angolo del triangolo.
Dato che la legge dei triangoli dice che, sommando gli angoli di un qualsiasi triangolo, il totale è 180°, ho calcolato la differenza tra 180° e 140°, che è uguale a 40°: è il terzo angolo del triangolo. Però devo trovare l'angolo DCG: un angolo del quadrato ha un ampiezza di 90°. Ho preso in considerazione un angolo di ogni quadrato e ho formato un angolo giro unendo 90°(per due volte), 40° e l'angolo DCG, ancora incognito.
Ho eseguito la seguente espressione: (90°*2) +40=220°. Ho calcolato la differenza tra 360° e 220°, che è di 140°.

Antonio e Margherita mi consegnano soluzione su foglietto. Sono stati altrettanto bravi!

Soluzioni e solutori della seconda:

Antonio:

il risultato è 140 gradi perché:
il triangolo è isoscele
[perché?] quindi 2 angoli uguali e 1 diverso,
se l'angolo CBE è 70 gradi anche l'angolo CEB sarà di 70 gradi,
se la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi, 180-140 è 40 gradi
[cosa rappresenta?];
gli angoli dei quadrati sono di 90 gradi quindi 90+90=180 gradi+40=220 gradi
per completare l'angolo giro mi serve la misura dell'angolo DCG che trovo facendo: 360-220=140 gradi.

Davide:

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il triangolo è isoscele [perché?] quindi ha 2 lati e 2 angoli uguali.
70°+70°=140°   180°-140°=40°
[?], poi abbiamo i 2 angoli retti del quadrato: 90°+90°=180°   360°-(180°+40°)=140°

Andrea:

l'angolo DCG misura 140° perché: il triangolo BCE è isoscele visto che i lati BC e CE  sono i lati di due quadrati congruenti, quindi i 2 angoli adiacenti alla base sono uguali e siccome l'angolo CBE ha ampiezza 70° anche l'angolo CEB misura 70° e sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è 180°, sommo i due angoli adiacenti alla base cioè 70°+70°=140° che sottraggo a 180° e ottengo 40° che è l'ampiezza dell'angolo BCE. Sommo agli angoli DCB e GCE che sono entrambi da 90°, quindi sottraggo 40°+90°*2 a 360° e trovo l'angolo DCG che è di 140°.

Paola:

l'angolo DCG è di 140° perché: il triangolo BCE è isoscele, perché 2 lati sono quelli dei quadrati equivalenti, quindi gli angoli alla base sono uguali quindi avendo l'angolo CBE di 70° anche l'angolo BEG sarà di 70°. La somma degli angoli di un triangolo è di 180°, quindi avendo 2 angoli di 70° faccio 180°- 70°*2=180°-140° = 40°= ECB. Gli angoli BCD e GCE dei quadrati sono di 90° ciascuno e l'angolo ECB è di 40°, l'angolo giro è di 360°, quindi per trovare l' angolo DCG faccio 360°- (90°*2 + 40°) = 140° = DCG.

Roberta: soluzione un po’ più … bah, direi complicata Smile

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L'ampiezza dell'angolo DĈG è 140°. Innanzitutto ho trovato la misura degli angoli interni del triangolo BĈE, triangolo isoscele i cui lati uguali sono formati da quelli dei quadrati. CÊB=CBE=70°, BĈE=180°-(70°+70°)=40°. L'angolo DĈE è formato dagli angoli DĈB=90° e BCE=40°, misura quindi 130°. Tracciando una semiretta passante per GC formo l'angolo piatto HĈG; l'angolo DĈE sarà formato dal nuovo angolo HĈE=90° e dall'angolo DĈH che quindi misura 40°. L'angolo HĈG è formato da DĈH e DĈG; sapendo che gli angoli piatti misurano 180°, DĈG=180°-40°=140°.

Yuri:

L'angolo DCG misura 140°.
Ci sono arrivato perché, innanzitutto, il triangolo BCE è un triangolo isoscele
[chi me lo dice?] e quindi gli angoli alla base sono uguali. Tutti i triangoli hanno come somma degli angoli interni 180°, quindi 180-140= 40°: è l' angolo al vertice del triangolo BCE. Per trovare l'angolo ''rosso'' devo sottrarre la somma tra l'angolo nel vertice C del quadrato A (90°), l'angolo nel vertice C del quadrato B (90°) e l'angolo al vertice del triangolo BCE (40°), all'angolo giro C quindi: 360-220=140°.

Luca:

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I due quadrati hanno lati e angoli uguali;
il triangolo BCE ha i lati BC e CE uguali perché corrispondenti ai lati dei quadrati quindi è un triangolo isoscele;
per cui l’angolo CBE = BEC = 70°;
l’angolo BCE = 180°-(CBE + AEC )= 180°-140°= 40°.
L’angolo DCG è una parte dell’angolo giro in C di cui:
DCB+GCE= 180° perché angoli interni dei quadrati
DCG=360°-(DCB+GCE+BCE)=360°-220°=140°, ampiezza angolo in C.

Aurora:

l’angolo DCG misura 140°:
sappiamo che il triangolo BCE è isoscele perché i due quadrati sono congruenti
[e i due lati uguali del triangolo sono formati da un lato di ciascuno di essi!] quindi gli angoli adiacenti alla base sono uguali quindi se l’angolo CBE misura 70° anche l’angolo CEB misura 70° quindi 70°*2=140°; 180°(somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo)-140°= 40° = angolo BCE; sappiamo che il quadrato ha tutti gli angoli da 90° quindi 360 - 220 = 140°

 

Quesito 3-4 dipinti e … parallelogrammi, rombi, triangoli: chi vuol vedere, di tutto può!

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Si chiedeva l’area delle porzioni di colore rosso. E, riservato a secondini e terzini, anche il perimetro totale delle parti rosse. 

Per la classe prima risolvono:

Stefano P.:

ho calcolato l'area dell'intera figura: 40 X 60 (base X altezza) = 2400 cmq
Ho notato che lo spazio
[diciamo la porzione di piano] occupato da ogni colore è uguale. Quindi, siccome ci sono 10 [ok, 10 se consideriamo un unico colore per i triangoli alla base del rettangolo, il prof. Davide può averli colorati diversamente con un preciso obiettivo, ovviamente per favorire riflessioni] colori diversi, ho fatto 2400 : 10 = 240 cmq
L' area totale delle parti colorate in rosso è 240 cmq

Sofia:

Per prima cosa ho trovato l'area del rettangolo maggiore (quello in cui sono contenuti i rombi) facendo 60 cmx40cm=2400 cm^2,
poi ho contato i rombi che sono 20 [non precisi come li hai individuati, io non li conto 20 tondi tondi … Smile ] e poi ho fatto 2400cm^2:20=120cm^2 e ho trovato l'area di un solo rombo.
In seguito ho fatto 120cm^2:2=60cm^2 che è l'area di uno spazio rosso.
Ma il quesito chiede tutte le parti in rosso, quindi, ho contato gli spazi rossi che sono 4 e ho fatto 60cm^2x4=240cm^2.
240cm^2 è l'area totale degli spazi rossi. [Tutti i tuoi “spazio-spazi” sarebbero da correggere: sono parti di piano! In geometria i termini hanno ben precisi significati]

Antonio:

Secondo me l’area delle parti in rosso è 240 cm^2. Sono arrivato a questo risultato calcolando l’area di tutto il rettangolo (bxh = 40x60=2400 cm^2) che ho poi diviso per 40, che sono le parti colorate intere o quelle che si completano tra loro all’interno del rettangolo, ottenendo 60 cm^2, area di ogni parallelogramma. Infine ho moltiplicato 60 cm^2 x 4 (4 sono le parti rosse, tre intere e una che si completa perché distribuita ai lati del rettangolo): 60 x 4 =240 cm^2, area totale delle parti rosse.

Bravi… solo in tre!

Per la classe seconda:

Elisa:

Guardando la figura noto che ci sono 20 rombi […].
Innanzitutto trovo l'area del rettangolo (b*h) 40*60=2400 cm^2 e poi la divido per 20 (rombi) 2400:20=120, 120 cm^2 è l'area di un rombo, però ci chiede l'area rossa, che sommando tutti i pezzi, noto che forma due rombi, quindi faccio 120*2=240 cm^2 (area parte rossa).

Per trovare il perimetro innanzitutto mi sono trovata le diagonali dei rombi: AB=40 cm contiene 4 diagonali minori per cui: 40:4=10 cm.
Per trovare la diagonale maggiore: BC=60 cm contiene 2,5 diagonali maggiori, quindi D= 60:2,5=24 cm.
Noto che il rombo è formatto da 4 triangoli rettangoli devo trovare l'ipotenusa, che è un lato dei parallelogrammi. Applico il Teorema di Pitagora: radice quadrata della metà diagonale maggiore al quadrato più la metà diagonale minore al quadrato, cioè radice quadrata di 12^2+5^2= radice quadrata di 144+25= alla radice quadrata di 169 che è 13.

Purtroppo Elisa non conclude correttamente il ragionamento per il calcolo del secondo lato del parallelogramma. Ok, apprezzo la parte risolta!

Maria:

ho risolto la prima domanda del quesito tre.

Il lato AB è composto da 4 triangoli tutti con la stessa base quindi come prima operazione faccio 40 cm:4=10 cm
Nel lato AD noto 2,5 diagonali maggiori dei rombi (formati da due di quei triangoli), quindi in tutta la lunghezza del lato è contenuta 5 volte l’altezza di un triangolo, quindi  60:5=12 cm
Ora calcolo l’area di un triangolo: 10*12/2 = 60 cm^2 
Noto che un rombo è costituito anche da due parallelogrammi e di conseguenza deduco che il parallelogramma è equivalente ai triangoli; nella figura vedo 3 parallelogrammi rossi interi, quindi la somma dell'area dei tre parallelogrammi è 180 cm^2.
Però c'è un problema, si io nella figura vedo 3 parallelogrammi interi ma vedo anche, ai lati del rettangolo, due parti rosse che osservando bene noto che formano un parallelogramma intero. Quindi devo aggiungere ancora 60 cm^2: 180+60=240 cm^2

Roberta:

L'area delle parti colorate di rosso è di 240 cm².

Ho trovato l'area totale del rettangolo e il numero totale dei piccoli parallelogrammi: A=b*h=40 cm*60 cm=2400 cm²; i parallelogrammi sono 40, perché i pezzi non interi si completano tra loro. Quindi: 2400 cm²/40=60 cm², area dei singoli parallelogrammi. Infine, visto che le parti rosse sono 4: 60 cm²*4=240 cm².

Il perimetro delle parti rosse è di 180 cm.

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Per ottenere questo risultato sono partita dal trovare un lato dei parallelogrammi: inizialmente ho individuando il triangolo rettangolo ABD di cui ho segnato i lati in blu, il lato di cui io cerco la misura corrisponde ad AD. Trovo la misura dei due cateti: BD=lato AB del rettangolo/8 = 40cm/8=5 cm, AB del mio triangolo rettangolo: lato AD del rettangolo/5 = 60cm/5=12 cm.

Avendo un triangolo rettangolo di cui conosco i cateti e dovendo trovare l'ipotenusa, applico il teorema di Pitagora. Esso stabilisce che la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti ha come risultato l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.

L'area del quadrato costruito sul cateto minore è 5², l'area di quello costruito sul cateto maggiore è 12², quindi: AD=√5²+12²=√169=13 cm, un lato del parallelogramma.

A questo punto trovo l'altro lato del parallelogramma CF: il segmento AD è congruente a DE; come si può vedere nella figura, DE è formato da CF*2, quindi CF=13cm/2=6.5 cm. Il perimetro di ogni parallelogramma è di 2*(13+6.5) = 39 cm. Avendo tre parallelogrammi interi il loro perimetro sarà di 39*3 = 117 cm. Infine trovo il perimetro di ABKD=12 cm+6.5 cm*2+13 cm = 38 cm, e di GIJ = 6.5 cm*2+12 cm = 25 cm.
Perimetro tot = 117 cm + 38 cm + 25 cm = 180 cm.

Andrea, sbaglia il calcolo dell’area totale dei parallelogrammi rossi perché considera 32 parallelogrammi totali nel rettangolo-quadro. Per quanto riguarda il perimetro:

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Per trovare il perimetro ho individuato il triangolo rettangolo GHI, costruito con Geogebra sulla foto. Ho applicato il teorema di Pitagora, quindi: radice quadrata di 20 cm^2 (20 cm il cateto minore perché il punto H si trova al centro del lato AB) + 48 cm^2 (cateto maggiore GI, 48 cm ottenuto trovando 5 parti uguali nel lato BC del rettangolo, da 12 cm ciascuna, che poi ho moltiplicato per 4). Così ho ottenuto l'ipotenusa IH del triangolo rettangolo che è di 52 cm. IH noto che è costituita da 8 parti uguali, ciascuna è il lato minore del parallelogramma. Quindi divido 52 per 8 e ottengo 6.5 cm. Se invece divido per 4 trovo il lato maggiore del parallelogramma perché esso è anche lato dei rombi che posso vedere in figura: 52/4 = 13 cm. Il perimetro di un solo parallelogramma è: (13+6.5)*2= 39 cm.

Moltiplico questo perimetro per 3, i parallelogrammi interi e ottengo 117 cm. A questi sommo: il perimetro del triangolo al lato destro del rettangolo, 25 cm (12 cm sono 1/5 del lato maggiore del rettangolo, 13 cm che è la somma degli altri 2 lati), e il perimetro del trapezio al lato sinistro del rettangolo, 38 cm (12 cm +13 cm + i due lati rimanenti che sono entrambi da 6.5 cm e quindi 13 cm).

Quindi, il totale: 117 cm + 25 cm + 38 cm= 180 cm

Oh, carissimi giovini, mi accorgo che ho ancora diverse risposte da riportare. Ebbene, poiché non sono semplicemente da riportare, ma da correggere, intendendo per correggere assemblare diverse e-mail (perché diversi i richiami alla maggiore riflessione e alla motivazione delle conclusioni), ma soprattutto rendere le risposte in un italiano comprensibile, ebbene dicevo, a questo punto il tempo richiesto mi pare proprio troppo.  A me pare che, io insisto, richiamo, … ,  trascuriate l’espressione scritta, il linguaggio, la chiarezza espositiva. No, non è bene, perdete in preparazione e formazione. E dunque riporto di seguito i nomi di coloro che hanno fornito le soluzioni matematicamente corrette.

Marta C., Martina (fornisce solo la risposta sull’area), Davide (fornisce il perimetro dei 4 parallelogrammi rossi ma non considera che uno di essi è spezzato in due parti per cui ha un perimetro da “potenziare”), Michele (come Davide non considera la parte di perimetro di uno dei parallelogrammi che tocca il rettangolo su due lati), Aurora (trova solo l’area dei parallelogrammi), Antonio (come Davide e Michele, perimetro incompleto), Luca (perimetro incompleto) Paola, Yuri (perimetro incompleto).

Bene, mi pare di aver concluso, se ho scordato qualcosa o qualcuno avvertitemi.

Al solito, Bravo a chi ha lavorato, a chi si è impegnato, a chi ha risposto alle sollecitazioni.

Grazie sempre al prof. Davide.

A prestissimo qui per i nuovi quesiti!

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