domenica 28 febbraio 2016

Due a settimana..._15, le soluzioni

Ecco anche le nostre soluzioni del

Due a settimana..._15

Quesito 1

Per la classe prima risolvono correttamente: Andrea, Yuri, Maria, Paola, Marta C., Roberta, Aurora, Valentina, Elisa, Antonio.

Questa la costruzione di Roberta, è stata la sola a costruire!

image

Per cui riporto anche la sua spiegazione Smile:

Il perimetro del quadrato grande misura 100 cm.
Per risolvere il quesito innanzitutto ho costruito la figura. In seguito ho diviso il perimetro del rettangolo EFHG in parti uguali, segnando i punti d'intersezione tra le circonferenze e il centro di ognuna di esse. Ho ottenuto 12 parti.
Quindi ho diviso il perimetro del rettangolo EFHG, 60cm, per12: 60/12=5 cm, il raggio di ogni cerchio.
Per trovare la base di ABCD ho fatto: 5cm*6parti=30cm.
Per trovare l'altezza sempre di ABCD, 5cm*4parti=20cm.
Infine ho calcolato il perimetro utilizzando la formula: (b+h)*2 cioè (30+20)*2=100cm.

E comunque:

Andrea, seppure non troppo chiaro nella spiegazione del calcolo delle misure dei lati dei rettangoli, osserva:

il perimetro del rettangolo piccolo è i 3/5 del perimetro del rettangolo grande perché per formare il perimetro di quello piccolo ci vogliono 6 diametri mentre per quello grande ce ne vogliono 10.

E questa è una buona osservazione. Che però non sfrutta adeguatamente. Un pochino è scusato, le frazioni non le abbiamo ancora trattate per poterle sfruttare bene. Altrimenti, poiché era conosciuto il perimetro del rettangolo piccolo, avrebbe considerato, con la sua osservazione, che quello del rettangolo grande è i 5/3 di quello piccolo! E perciò sarebbe stato sufficiente calcolare i 5/3 di 60: 5/3*60=100 (o 60/3*5)

Altri spiegano, in sintesi, in questo modo:

Capisco che il perimetro passa per i diametri e raggi delle circonferenze per un tot. di 6 diametri nel rettangolo piccolo, e quindi basta fare una divisione (60/6) per capire che il diametro è 10 cm. Siccome l’altro perimetro è tangente ai cerchi avrò 10 diametri da 10 cm ciascuno. Basta fare: 10 cm*10=100 cm.

Per la terza: Alessia, Gian Franco, Antonella, Miriam, Giuseppe P., Elisa.

Riporto per tutti la risposta di Alessia:

Per trovare la misura delle dimensioni del rettangolo ho trovato la misura del diametro dei cerchi.

L'altezza del rettangolo piccolo corrisponde a un diametro e il semiperimetro a tre diametri, quindi calcolo 1/3 di P/2(60cm/2=30cm)/3= 10 cm

Quindi, per trovare le dimensioni del rettangolo grande moltiplico il diametro (10cm) per il numero di cerchi che compone la dimensione.
Quindi:
b=10cm*3=30cm
h=10cm*2=20cm
P=(b+h)*2=(30cm+20cm)*2=100 cm

Quesito 2

Per la classe prima, i solutori: Andrea:

per trovare la risposta ho controllato ogni frase. La prima è vera perché la somma di numeri dispari fatta un numero pari di volte da sempre un numero pari;
la seconda è vera perché ho sommato 17+19+21+23=80 che sarebbe un multiplo di 16;
la terza è falsa perché per esempio la somma dei primi 4 numeri dispari è 16 cioè il quadrato di 4;
la quarta è vera perché la somma di 13+15+17+19 è 64 che è il cubo di 4;
la quinta è vera perché la somma dei primi 4 è 16.

Yuri:

La preposizione falsa è: S non è mai un quadrato perfetto

Sono arrivato alla risposta facendomi uno schemino:

-S é pari perchè posso fare 1+3+5+7=16. Quindi è vera.
-S é multiplo di 16 perché posso fare 5+7+9+11=32. Quindi é vera.
-S non è mai un quadrato perfetto é falsa perchè già se faccio 1+3+5+7=16 che é un quadrato di un n°.
-S può essere un cubo perfetto perché se faccio 13+15+17+19=64 ed é un cubo perfetto.
-S è un numero maggiore o uguale a 16 è vera perchè io faccio1+3+5+7=16 oppure 9+11+13+15=48 ed é sempre e comunque maggiore di 16.

Il tutto mi ha dimostrato la risposta.

Paola:

La risposta falsa è la n° 3, perché se n è un n° dispari, che può essere 1, la formula è n+(n+2)+(n+2*2)+(n+2*3)=1+3+5+7= 16. Da questo risultato ho trovato le risposte 1 e 5. Se n è 13 faccio 13+15+17+19= 64 e ho trovato la risposta 4. Se n è 5 faccio 5+7+9+11=32 e ho trovato la risposta 2. L' ultima risposta che rimaneva era la n° 3, ma per essere sicura ho controllato tutti i risultati e più di uno era quadrato perfetto.

Roberta:

L'unica proposizione falsa è la n°3: S non è mai un quadrato perfetto.

1. S è pari     V   F
2. S può essere multiplo di 16    V   F
3. S non è mai un quadrato perfetto   V  
F
4. S può essere un cubo perfetto    V   F
5. S è sempre maggiore o uguale a 16    V   F

Per trovare questo risultato ho analizzato tutte le proposizioni.

Per la n°1 ho innanzitutto fatto due esempi: 1+3+5+7=16 e 3+5+7+9=24, da qui ho trovato la formula generale, seguendo il consiglio della professoressa (indicate un numero dispari qualsiasi semplicemente con n) -> n+(n+2)+(n+4)+(n+6) = S.
La formula sviluppata è: n*4+12 = S. Qualsiasi numero moltiplicato per 4 da come risultato un numero pari, che viene addizionato ad un altro numero pari, pari + pari = pari. Quindi si otterrà sempre un numero pari e perciò la n°1 è vera.

Per la n°2 ho fatto 16*2 = 32 e poi sono andata avanti con gli es. a partire dal secondo risultato trovato nella prima proposizione: 5+7+9+11 = 32 (corrisponde), 7+9+11+13 = 40, 9+11+13+15 = 48 = 16*3 (corrisponde), qui ho usato la stessa formula utilizzata nella prima proposizione, e anche la n°2 è vera.

Per la n°3 ho inizialmente fatto degli esempi: 16 = 4^2 (corrisponde), 24 = 5^2 (non corrisponde), 32 = 6^2 (non corrisponde). Secondo gli esempi solo uno corrisponde, ma nel testo viene utilizzata la parola "mai" quindi la n°3 è falsa.

Per la n°4 ho fatto degli esempi utilizzando la formula: a^3 = S -> 2^3 = 8 (non corrisponde), 3^3 = 27 (non corrisponde), 4^3 = 64 = 13+15+17+19 (corrisponde), quindi la n°4 è vera.

Per la n°5, l'ultima, ho segnato vero perchè nel primo es. ho iniziato dal primo numero dispari sommando agli altri tre consecutivi e ho ottenuto 16, questo significa che 16 è il numero minimo di S e che gli altri andranno per forza crescendo.

Luca (una delle proposizioni è spiegata in maniera incomprensibile, ma diamogli buone le altre), Marta, che si limita alla risposta secca alla domanda. Spiega infatti, seppure correttamente, solo la proposizione n° 3: La proposizione falsa è la terza, perchè ho preso in considerazione quattro numeri dispari consecutivi cioè: 1-3-5-7, la somma di questi è 16 e 16 è un quadrato perfetto.

 Antonio, che fa una faticaccia …!:

La proposizione falsa è la numero 3 perchè:
1)è vera perchè per esempio 1+3+5+7=16 ed è pari;
2)è vera perchè 1+3+5+7=16 che è un multiplo di 16 perchè 16 x 1=16
3)è falsa perchè 1+3+5+7=16=4 alla 2
4)è vera perchè 13+15+17+19=64 =16 alla 3
5)è vera perchè 1+3+5+7=16

Per la terza: Alessia:

Per trovare la somma di quattro numeri interi, positivi, dispari e consecutivi qualsiasi ho cercato una formula, mettendo n come numero dispari:

n+n+2+n+4+n+6=4n+12

Guardando la formula si intende subito, qualunque sia n, il risultato sarà sempre pari perché: un numero dispari moltiplicato per un numero pari il risultato sarà sempre pari e anche perché addizionando due numeri pari si ottiene sempre un risultato pari. Da questo si capisce che la prima affermazione è vera.

Ipotizzando che n sia uguale a 1, applicando la formula, si ottiene come risultato 16, o che n sia uguale a 5 si ottiene come risultato 32, quindi anche la seconda e la quinta affermazione sono vere.

La terza affermazione è assolutamente falsa perché la somma può essere un quadrato perfetto, e, infatti come abbiamo visto, ipotizzando che n sia uguale a 1, la somma è uguale a 16, e 16 è il quadrato perfetto di 4.

Per verificare che la quarta affermazione fosse vera ho cercato un numero che rispettando la formula fosse anche un cubo perfetto e ho trovato il cubo di 4 che è 64.

Antonella:

La proposizione errata è la numero 3 [perché?].

La prima, la seconda, e la quinta sono vere perché 4n + 12 è un “pari + pari”. Questa formula l’ho ottenuta da: n+(n+2)+(n+4)+(n+6).

 S può essere anche multiplo di 16 perche basandomi su degli esempi: 1+3+5+7 =16, ma anche con un altro esempio, 5+7+9+11=32, un multiplo di 16. La 4 è esatta [ma non spieghi perché], anche la 5 perché utilizzando come esempio 1+3+5+7 sono i numeri naturali interi dispari e consecutivi piu piccoli e la loro somma è 16, non può essere dunque un numero minore di questo.

Miriam:

La proposizione falsa è la 3. Spiego il perché:

1) è vero, perché la somma di un “numero pari di numeri dispari” (in questo caso 4), da sempre un numero pari.

Esempio: 1 + 3 + 5 + 7 = 16

n + (n+2) + (n+4) + (n+6) = 4n+12

2) è vero perché, ad esempio:

1 + 3 + 5 + 7 = 16  

5 + 7 + 9 + 11 = 32 = 16 x 2  

9 + 11 + 13 + 15 = 48 = 16 x 3

13 + 15 +17 + 19 = 64 = 16 x 4

...qui ho notato una "regolarità"... [qual è?]

3) è falso, ecco un esempio di quadrato perfetto: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 x 4

4) è vero, un esempio è:  125 + 127 + 129 + 131 = 512 = 8^3

5) ovviamente è vero, gli stessi esempi riportati qui sopra lo dimostrano.

Gian Franco:

Innanzitutto, considerando un numero dispari qualsiasi come "n" ho pensato di rappresentare la somma di 4 numeri dispari consecutivi come "n+n+2+n+4+n+6" o meglio con la formula 4n+12. Con questa formula ho potuto ragionare su alcune proposizioni come la prima in cui ho affermato che la somma è pari perché un numero dispari per uno pari dà sempre pari (4*n) , che sommato a sua volta ad un altro pari(12) dà pari. Oppure la seconda in cui ho dedotto che è vera perché provando a sostituire la n con numeri ad esempio con il primo numero dispari cioè l'1 si fa 1*4+12= 16. Provando con i numeri dispari successivi ho notato che S è multiplo di 16 una volta si una no.

La terza invece è falsa perché S può essere un quadrato perfetto già nella prima somma di numeri dispari consecutivi cioè 1+3+5+7=16. Quindi anche la quarta affermazione è corretta [come quindi, perché?] e lo stesso vale per la quinta che può essere spiegata anche dalla seconda, infatti se la prima somma di quattro numeri consecutivi dispari da 16, le altre possono essere solamente maggiori.

Giuseppe P.:

La proposizione errata è solo la numero3 in quanto:
- la somma di 1-3-5-7 è uguale a 16 che è un quadrato perfetto
- la proposizione n°5 è vera perché la somma di 1-3-5-7 è uguale a 16
- la proposizione n°1 è vera in quanto si tratta di una somma di 4 numeri dispari
- la proposizione n° 2 è vera perchè la somma di 5-7-9-11 è uguale a 32 multiplo di 16
-la proposizione n°4 è vera perché la somma 13-15-17-19 è uguale a 64 che è il cubo di 4

Quesito 3

Per la classe prima: Roberta:

Costruzione:

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L' area del quadrato ABCD è 1 u².
Per trovare questo risultato innanzitutto ho costruito due figure su GeoGebra, una come quella proposta dalla prof. e una dove poter lavorare. A questo punto ho osservato attentamente la figura iniziale e, nella seconda fig. ho nascosto il quadrato E1F1G1H1, lasciando in vista solamente i punti che mi erano utili. Quindi ho costruito dei triangoli con le parti di area fuori dal quadrato e, grazie agli strumenti di GeoGebra, ho traslato questi triangoli e ho ricomposto il quadrato ABCD.
Questo significa che l' area della parte colorata corrisponde all'area del quadrato.

Yuri:

L' area del quadrato ABCD è uguale a quella della porzione blu cioè 1 u^2.

Sono arrivato alla soluzione anche grazie al suo aiutino, e ho capito che i triangoli che rimanevano all'esterno fossero equivalenti a due dei triangoli che posso vedere dentro al quadrato. Allora ho provato a spostare il triangolo DCH nel triangolo ABE. Ma anche il triangolo BFC nel triangolo AED.

Tutto ciò mi ha dimostrato che avevo ragione. [e tanto basta! Smile]

Paola:

L'area è 1 u^2 perché se prendo in considerazione solo il quadrato ABCD, l'area fuori dal quadrato è precisamente la metà dell'area del quadrato, quindi l'area blu è uguale all'area del quadrato.

Lo dimostro così:

Ho riprodotto la costruzione con geogebra e ho fatto dei poligoni triangolari sovrapposti all'area blu che sta fuori dal quadrato ABCD e li ho copiati e incollati nell'area bianca del quadrato. Coincide perchè le misure sono uguali. [mmh… dobbiamo parlarne]

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Aurora:

L'area del quadrato coincide con l'area della parte colorata. Infatti il triangolo AEB è uguale al triangolo DHC (perché sono equivalenti) [perché sono equivalenti?] e il triangolo ADE è uguale al triangolo BCF (perché equivalenti) [perché?], quindi l’area del quadrato ABCD è uguale 1u^2

Andrea (più che sbrigativo):

per trovare l'area ho messo due triangoli dell'area colorata nell'area bianca come nella figura infatti è simile a un puzzle, adesso le mando la ricostruzione. L'area bianca di un quadrato è 0,5.

image[boh! Spero tanto che Andrea non si piaccia, leggendosi qui!]

Luca: noo, spiega in un italiano inintelligibile! E non spiega le equivalenze che riconosce nella figura.

Antonio (lavora sulla figura del testo).

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La risposta è 1 u^2 perchè:

ho tracciato il segmento AE, poi ho prolungato il segmento HE fino al lato AB, stesso procedimento per il segmento FE fino al lato AD. Così mi sono reso conto che i triangoli che ho formato sono uguali a quelli che stanno fuori dal quadrato. [mah! Sì, c’è proprio da parlarne…]

Per la terza: Alessia:

I quadrati ABCD e EFGH hanno area 1 u^2, perché (prendendo come esempio il quadrato ABCD), immaginando di traslare il triangolo BCF verso il lato AD e il triangolo HDC verso il lato AB si ottiene la stessa area della parte colorata iniziale.

Dopo sollecitazione mi aggiunge che i triangoli che immagina di traslare sono equivalenti perché hanno stessa base e stessa altezza. Ah, se non si sollecita!

Antonella: spiega con la traslazione di triangoli

Gian Franco:

osservando attentamente la figura e con l’aiuto, ho notato che fuori dal quadrato ci sono due triangoli. Essi potrebbero essere inseriti nel quadrato ABCD perché:

considerando ad esempio il triangolo CBF si può notare che è equivalente al triangolo ADE. Questo perchè innanzitutto hanno la stessa base, infatti è il lato del quadrato.

Per quanto riguarda l'altezza: prendiamo in considerazione il lato EF, è suddiviso dal punto d'intersezione con il lato BC. La distanza punto intersezione-F è la stessa punto E-lato AD perché il lato EF è parallelo e uguale al lato DC.

Lo stesso vale per il triangolo DCH, equivalente a ABE, perché hanno la stessa base e la stessa altezza. Quindi concludo dicendo che l'area della parte colorata cioè 1u^2 è uguale a quella del quadrato ABCD.

Miriam: stesso ragionamento di Antonio, spiega con le traslazioni. Ma la costruzione è sua Smile

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Giuseppe P.:

l'area del quadrato ABCD è uguale all'area della parte colorata perché l'area compresa tra ADE è uguale all'area del triangolo BCF, e l'area compresa tra ABE è uguale all'area del triangolo CDH [perché? Smile]

Oh, mi pare di aver detto tutto!

Bravo a chi ha lavorato (qualcuno ha lavorato, lo possiamo dire, con non troppo impegno e poi, soprattutto: c’è da lavorare sui perché, intesi?), e bravo anche a chi ha tentato e non è riuscito.

A prestissimo dal prof Davide per i nuovi giochi!

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lunedì 8 febbraio 2016

Due a settimana..._15

Eccoli, pronti i nuovi quesiti!

Partiamo da una robina facilissima, il

Quesito 1

Osservate la figura

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Vedete sei circonferenze dello stesso raggio disposte all’interno di un rettangolo grande, tangenti fra loro e tangenti ai lati del rettangolo. [Voi della prima, si capisce tangenti? Non abbiamo ancora avuto occasione mi pare… Tangente viene dal latino tangere che vuol dire toccare. In questo caso, lo vedete, le circonferenze si toccano fra loro e con i lati del rettangolo. Per ora basta questo]. Torniamo alla figura:

i vertici del rettangolo piccolo sono situati ciascuno nel centro di una circonferenza. Il perimetro del rettangolo piccolo misura 60 cm. Quanti centimetri misura il perimetro di quello grande?

Quesito 2, numerico

Quale delle seguenti proposizioni è falsa per la somma S di quattro interi positivi dispari consecutivi qualsiasi?

  1. S è pari
  2. S può essere multiplo di 16
  3. S non è mai un quadrato perfetto
  4. S può essere un cubo perfetto
  5. S è sempre maggiore o uguale a 16

Cos’è un quadrato perfetto lo sapete, un cubo perfetto… lo intuite!Smile  Ma sì, sapete cos’è il cubo di un numero: il prodotto di tre numeri interi uguali, cioè un numero elevato alla terza potenza. es: 8, 27, 64, …

Per ogni affermazione potete fare degli esempi, ma cercate anche di generalizzare. Suggerisco: magari ricordate che un numero dispari qualsiasi si può scrivere nella forma 2n ± 1 (più o meno 1). Stavolta vi conviene indicare il primo numero dispari solo con n. Il consecutivo sarà …?

Quesito 3, ancora geometria

Figura:

image 

I due quadrati ABCD e EFGH sono uguali.
La parte colorata ha area 1 u². Qual è l’area del quadrato ABCD?

Non allarmatevi, aiutino: osservate bene, una parte dell’area colorata è contenuta nel quadrato. Ragionate sulla parte che sta fuori!

Buoni ragionamenti a tutti!

La scadenza: martedì 23 febbraio 2016

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domenica 7 febbraio 2016

Sarà mica matematica 38, le nostre soluzioni

Ed ecco le nostre soluzioni del

Sarà mica matematica n° 38

Che dire? Qualcuno batte la fiacca, qualcuno trova difficoltà, qualcuno comunque ci prova, qualcuno trova le soluzioni ma non le spiega… insomma di tutto un po’. Anche il numero di solutori è un po’!

Quesito 1, le date di nascita

Per la classe prima risolvono: Yuri, Andrea, Marta C. (per tentativi trova due date ma non la terza), Elena (che non spiega), Paola, Roberta (per tentativi), Aurora (come Marta C.), Antonio, Sara (che non spiega), Luca.

Per la terza: Antonella e Gian Franco, Alessia, Giuseppe P.

Le risposte più complete ed esaurienti sono simili a quella di Giuseppe P., che copio-incollo:

Secondo me Paolone è nato nel 1958, ho proceduto svolgendo la seguente operazione: 116:2=58. Ho considerato il 1900, ho dovuto calcolare la differenza tra 2016 e 1900= 116. Poi dividerla per due perchè l'età deve corrispondere alle ultime 2 cifre dell'anno di nascita.

Paolino ha 8 anni, ho tratto questa conclusione prendendo in considerazione gli anni 2000, 2016-2000= 16:2=8. Paolino è nato nel 2008.

Seguendo lo stesso ragionamento, la persona denominata Io [e sì, “Io” è stato da alcuni identificato con il prof Davide, altri hanno avuto qualche dubbio, chissà perché… Mah, io non voglio dirlo! Che abbiano fatto paragoni??Winking smileQualcuno, non volendosi sbilanciare, ha scritto anche “età di io: ha 47 anni ed è nato nel 1969Smile] avrà la stessa coincidenza nel 2038, quando avrà 69 anni, essendo nato nel 1969.  2038- 1900= 138;  138: 2= 69. 

Quesito 2, i marmi dei mosaici

Per la classe prima i solutori: Andrea, Yuri, Paola, Roberta, Aurora (che somma le aree utilizzando la costruzione su Geogebra), Davide (realizza la costruzione corretta su Geogebra ma fa dei ragionamenti complicatissimi e non riporta il risultato finale corretto), Antonio, Marta C., Roberta, Sara, Luca.

Per la terza: Antonella e Gian Franco, Alessia, Giuseppe P., Elisa, Miriam.

Cominciamo con una delle costruzioni realizzate con Geogebra, questa è di Roberta:

image Dato il perimetro del quadrato complessivo, di 16 cm, si chiedeva l'area della superfice in marmo bianco.

Roberta, come altri, spiega così:

 L’area del marmo bianco è di 12 cm².

Faccio innanzitutto 16/4=4 cm e ottengo la misura di un lato del quadrato grande.
Poi: 4/2=2 cm e ottengo la misura di un lato del quadrato medio.
Quindi: 2*2=4 cm² e ottengo l'area di un quadrato medio bianco.
Moltiplico per 2 perché i quadrati medi sono due: 4cm²*2=8 cm² e ottengo l'area dei quadrati medi bianchi.
A questo punto ho osservato attentamente la figura e con le parti rosse, dei triangoli, ho formato due figure identiche corrispondenti al quadrato piccolo bianco:

image

Questo significa che un quadrato piccolo bianco corrisponde alla metà di un quadrato medio.
Quindi ho fatto 4cm²/2=2 cm² e ottengo l'area di un quadrato bianco piccolo, ma i quadrati piccoli sono 2 quindi 2cm²*2=4 cm²
[E tanto valeva…!]
Infine ho fatto 8 cm²+4 cm²=12 cm²

Di Paola mi è piaciuta la spiegazione del perché i quadrati piccoli sono equivalenti alla metà dei medi:

Perché se ruoto di 180 gradi un triangolo di marmo rosso combacia perfettamente con 1/4 di un quadrato minore di marmo bianco. [li ha ruotati tutti e quattro e colorato in bianco i triangoli corrispondenti nelle rotazioni]

image I punti con etichetta sono i centri di rotazione.

Altri:

dividono il quadrato medio in 8 triangoli rettangoli uguali e ne “prendono” la metà, ovvero 4, che quindi equivalgono alla metà del quadrato medio.

Altri ancora:

considero il lato di un triangolino=1 cm; area di un triangolino: 0.5 cmq; 0,5*4=2 cmq=area di 4 triangolini= area di uno dei quadrati piccoli.

Infine, la domanda aggiuntiva per secondini e terzini: quali le dimensioni minime della lastra bianca iniziale intera da cui sono stati ricavati i pezzi bianchi?

La risposta è stata data solamente da Alessia e dai cuginetti Lella (che sarebbe Antonella) e Gianfri (che sarebbe Gian Franco)

Alessia invia la costruzione:

image

Lascia intuire a me che ha trovato il lato dei quadrati piccoli pari a √2 cm.

I cuginetti dicono:

Se il lato dei triangolini rossi che sono rettangoli isosceli, è di 1 cm, secondo il teorema di Pitagora il lato del quadrato piccolo è uguale a √2 cm quindi:

la lastra bianca iniziale è formata dai 4 quadrati bianchi di dimensioni 2 cm e √2 cm che uniti formano un rettangolo (aggiungendo il pezzo tratteggiato) delle seguenti dimensioni:

image

E bravi Alessia e cuginetti! – Visto che sono stati gli unici.

Quesito 3 le spirali nei mosaici

Il prof Davide ha ricostruito un particolare su Geogebra

E la domanda: Se il lato del quadrato misura 10 cm, qual è la lunghezza complessiva delle linee nere della spirale?

Per la classe prima risolvono: Paola, Roberta, Yuri, Aurora (spiega ma non riporta la lunghezza totale della spirale), Antonio, Elena, Sara, Andrea, Luca.

Per la terza: Antonella e Gian Franco, Arianna, Alessia, Giuseppe P., Miriam.

Diverse le risposte del tipo:

La lunghezza complessiva delle 2 linee nere della spirale è di 60 cm. Ogni linea nera è composta da 2 parti che misurano 7.5 cm ciascuna e altre 3 parti da 5 cm. La lunghezza di una delle linee nere della spirale è di 30 cm: (7.5x2) + (3x5)= 30 cm. 30x2= 60 cm.

Qualcuno scrive:

la spirale comprende:
i 3/4 di ogni lato cioè 3/4 di 10 cm=7.5 cm, che si ripetono sui 4 lati, quindi: 7.5×4 =30 cm;
attraversa l’interno del quadrato con 1/2 del lato per 6 volte, cioè 5×6=30 cm.

La lunghezza complessiva della spirale è perciò di 60 cm.

Più originale la soluzione di Antonio (non precisissime le costruzioni):

trasforma la spirale iniziale

image

in questa:

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Trasporto le due linee che passano al centro del quadrato, tagliate a metà, sui lati del quadrato per averli interi, quindi ho 4 lati da 10 cm: 10x4 = 40 cm. Rimangono 4 linee all’interno da 5 cm ciascuna: 5x4 = 20 cm. La lunghezza totale è: 40 cm + 20 cm = 60 cm.

Ho concluso, se scordo qualcuno mi si faccia notare.

Grazie come sempre al prof Davide,

Bravo a chi ha lavorato e anche a chi ci ha provato.

Oh, i nuovi quesiti spettano a me! Smile

Qualcosa è già pronto, pubblicherò appena completo. A prestissimo!

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