martedì 7 agosto 2012

Esercizi interattivi di matematica

Mi dicono che ...

qualcuno di voi comincia a ripassare! Sorriso

Potete farlo (anche) on line. Prof. Daniele segnala un bel sito ricco di esercizi interattivi di matematica per studenti della scuola secondaria di primo grado.

Esercitazioni on line

Potrete eseguire esercizi di allenamento e di verifica. Un esempio, per Aritmetica 1:

Esercitazioni on line

Cliccando su Verifiche, come vedete , potete eseguire on line oppure scaricare il PDF

Esercitazioni on line

Avrete la vostra pagella, che riporta tutti i vostri risultati e vi indica quali sono le soluzioni corrette di tutti gli esercizi.

Esercitazioni on line

Buon ripasso! - Se avete qualche dubbio chiedete pure.

Grazie prof Daniele.

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giovedì 2 agosto 2012

Lunule quadrabili (e non)

Ragazzi,

il post è da leggere solo dopo aver letto

Le lunule di Ippocrate

E, tanto più, l’attività da eseguire dopo aver visto l’applet. Clic su img.

Riprendiamo ora l'estensione del Teorema di Pitagora a figure curvilinee, considerando stavolta un triangolo rettangolo isoscele:

Teorema Pitagora figure curvilinee

Il semicerchio costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei semicerchi costruiti sui cateti.

Una volta disegnata la figura precedente, a Ippocrate [di Chio (5° sec. a.C.)] venne il lampo di genio di raddoppiarla”

Ottenendo la figura:

lunule su quadrato

Figura che possiamo vedere essere costituita da:

- un cerchio grande e quattro lunule

image

- oppure un quadrato e quattro semicerchi piccoli

image

Per l’estensione del Teorema di Pitagora vista sopra, chiediamoci:

in  che rapporto stanno il semicerchio grande e un semicerchio piccolo?

Dunque:

il cerchio grande a quanti semicerchi piccoli è equivalente?

E perciò possiamo concludere:

lunule su quadrato

Io ho illustrato, voi dovete commentare-descrivere la conclusione!

“Ippocrate si accorse così che la figura curvilinea formata dalle quattro lunule è quadrabile”

Lunule quadrabili sono quelle lunule la cui superficie equivale a quella di un certo poligono regolare. [Ciascuna lunula sul lato del quadrato a quale poligono equivale?]

Una volta quadrate le lunule costruite sui lati di un quadrato, si può provare a fare la stessa cosa con quelle costruite sui lati di un esagono regolare. In tal caso il diametro del cerchio circoscritto è doppio del lato dell’esagono.

Si ottiene questa figura:

lunule su esagono

Anche questa figura può essere vista in due modi. Per tutte le osservazioni e le conclusioni stavolta andate ad aprire l’applet (clic su figura) o scaricate il file Geogebra sei_lunule.ggb ed eseguite l’attività.

Questa volta, Ippocrate si accorse dunque che se la figura curvilinea formata dalle sei lunule fosse quadrabile [ragazzi, è quadrabile o no, secondo voi?], lo sarebbe anche il cerchio. Risultato solo ipotetico. Ma i Greci pensarono che, se erano quadrabili le lunule su un quadrato, non si capiva perché non avrebbero dovuto esserlo anche quelle su un esagono. E si lanciarono a cercare di risolvere il problema, che divenne noto come quadratura del cerchio.

Tentando di risolverlo, Ippocrate riuscì a quadrare altri due tipi di lunule, oltre a quelle costruite sui quadrati. A sua volta, nel 1771 Leonhard Euler [Eulero] ne quadrò altri due. E nel 1934 e 1947, rispettivamente, Nikolai Chebotarev e Arkadiy Dorodnov dimostrarono che questi cinque tipi di lunule sono gli unici quadrabili”

[Da altra fonte: “Non si sa se questi 5 tipi esauriscano o no la classe delle lunule quadrabili elementarmente. Tuttavia nel 1903 E. Landau  ha dimostrato che i tipi di lunule quadrabili con mezzi elementari non sono infiniti.” ]

Le lunule nell’arte

cathedral_insidefoglio42 Taccuino Villard Honnecourt
Il rosone centrale della cattedrale di Losanna progettato dall’architetto francese di inizio Duecento, Villard de Honnecourt e il foglio 42 del suo Libro di ritrattistica o Album.

Da P. Odifreddi - C’È SPAZIO PER TUTTIIl grande racconto della geometria

Il problema della quadratura del cerchio attrasse l’attenzione di molte persone, in ogni tempo e luogo.

Plutarco (c. 46-120 d.C.) nel libro ”Sull’esilio” scrive: ”Non esiste posto che possa togliere la felicità all’uomo, e neppure la sua virtù ed intelligenza. Anassagora, infatti, scrisse sulla quadratura del cerchio mentre era rinchiuso in prigione”.

La popolarità del problema è provata da queste righe degli ”Uccelli” di Aristofane (c. 446-386 a.C., gli ”Uccelli”: 414 a.C.):

Presentazione di PowerPoint - Fibonacci Gela

Segnalo anche

Il problema della quadratura del cerchio

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