martedì 27 marzo 2012

Interpretazione geometrica del cubo di un binomio

Del cubo di un binomio

Gabriele ha curato l’interpretazione geometrica. Con SketchUp. Ha realizzato il video

La prof, meno brava di Gabri, ha invece realizzato la costruzione con Geogebra 3D

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lunedì 26 marzo 2012

Bisettrici di un triangolo e incentro

Anche Davì

ha cercato di realizzare un buon lavoro con Geogebra.  Ha esaminato bisettrici e incentro di un triangolo. L’ho aiutato con la casella di controllo e, ancora una volta, con la sintassi!

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bisettrici e incentro

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Mediane di un triangolo e baricentro

Altezze, mediane, bisettrici.... di un triangolo e punti notevoli.

Sono fra le nostre attività in questo periodo. Le costruzioni su Geogebra da parte dei ragazzi non sempre precise, o poco curate. Non si è troppo in forma? Chissà ...

Marco D. ha realizzato un buon lavoro sulle mediane, loro proprietà e proprietà del baricentro. Sono intervenuta dando un po’ di colore ... Bè, forse anche un po’ sulla sintassi ....!

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mediane e baricentro

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sabato 24 marzo 2012

Prodotti notevoli, potenze di binomi e ... !

Erica, Letizia e Maria Chiara,

tornano a scrivere! Hanno scritto singolarmente, bene tutte e tre. Riporto la sintesi delle tre relazioni.

Prodotti notevoli, potenze di binomi e anche...

Dopo aver acquisito sicurezza nei vari calcoli con monomi e polinomi, eccoci immersi nell’elevamento a potenza di binomi.

La prof ci chiede di risolvere le seguenti espressioni:

image

All'inizio siamo un po’ incerti su come procedere, sappiamo che elevare a potenza vuol dire moltiplicare la base per se stessa quante volte indica l'esponente, ma la prof ci deve un po’ aiutare a considerare che la base può essere costituita da “più termini”, in questo caso da un binomio: “le parentesi mi aiutano a individuare la base!

Quindi deduciamo che $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$,  un prodotto che sappiamo ben risolvere. Applicando la proprietà distributiva e riducendo i termini simili, otteniamo:

image

La prof ci ha invitato a iniziare a fare delle considerazioni o a cercare di trovare delle regolarità nei polinomi ottenuti.

Intanto ci ha fatto notare che, mentre ci chiedeva i risultati, sapeva già che il polinomio sarebbe stato composto da tre termini.

Prendendo in considerazione la terza espressione $(-4ab+3a^2b)^2$, abbiamo notato che il primo termine del risultato $(16a^2b^2)$ era il quadrato del primo termine dell’espressione (-4ab), il secondo termine del risultato $(-24a^3b^2)$ era il doppio prodotto del primo per il secondo $[2(-4ab*3a^2b)]$ e che il terzo termine $(+9a^4b^2)$ era il quadrato del secondo $(3a^2b)$.

Ovviamente la stessa cosa succedeva anche per le altre due espressioni, così la prof è intervenuta dicendo che eseguendo questi particolari prodotti potevamo farne delle “regole generali”. Questi prodotti infatti prendono il nome di prodotti notevoli e  per risolverli possiamo evitare i consueti passaggi algebrici.

La regola da seguire per calcolare il 1° prodotto notevole ovvero il quadrato di un binomio è la seguente:

  1. quadrato del primo termine;
  2. doppio prodotto del primo termine per il secondo;
  3. quadrato del secondo termine

Successivamente abbiamo fatto la medesima analisi anche con il cubo di un binomio. Abbiamo sviluppato:

image

E siamo arrivati alla conclusione che i passaggi necessari per calcolare il cubo di un binomio sono:

  1. cubo del primo termine;
  2. triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo;
  3. triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo;
  4. cubo del terzo termine

Ma… non è ancora finita…

La prof ci ha detto di concentrare la nostra attenzione sui coefficienti numerici dei risultati del quadrato e del cubo di un binomio, e così abbiamo fatto:

$(a+b)^2=1a^2+2ab+1b^2$

$(a+b)^3=1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3$

Non sono per caso 1  2  1  e  1  3  3  1 ? Non ci ricorda qualcosa?

Dopo qualche istante, ci viene in mente il triangolo di ... di... sul quale avevamo tanto lavorato all’inizio dell’anno... di Tartaglia!

Tr Tartaglia

Ebbene si, la matematica ci stupisce ancora una volta, parliamo di nuovo del triangolo di Tartaglia.

Riportiamo alla lavagna alcune righe per provare a scoprire come utilizzarlo per calcolare in maniera ancora più rapida le potenze dei binomi [siamo stati bravi con le prime due righe!]:

image

Abbiamo anche notato che, nelle potenze di binomi, es.$(a+b)^3$, i monomi sono ordinati in modo decrescente rispetto alla lettera a e crescente rispetto alla b:

$a^3b^0+3a^2b^1+3a^1b^2+ a^0b^3$

Quindi abbiamo provato a calcolare $(a+b)^4$ servendoci solo della sequenza dei numeri del triangolo di Tartaglia e della regolarità degli esponenti:

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Quindi, possiamo ...

Tr Tartaglia e potenze di binomi

sviluppare qualsiasi Potenza di un binomio!

Comodo il Triangolo di Tartaglia!

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venerdì 23 marzo 2012

Altri tre problemi

Per... chi riesce!

1. I cubi colorati
Francesca ha a disposizione alcuni cubi uguali e due barattoli di vernice, uno rosso e uno blu, per dipingere tutte le loro facce (ogni faccia avrà un unico colore).
Quanti cubi diversi potrà ottenere?

2. La corsa
Marco si è iscritto ad una corsa campestre con meno di 20 partecipanti. I pettorali vengono consegnati in ordine di iscrizione a partire dal numero 1.
Marco si accorge che la somma dei pettorali di chi si è iscritto prima di lui è uguale a quella di chi si è iscritto dopo di lui.
Qual è il numero del suo pettorale?

3. Grattacieli
Inserire nello schema seguente i numeri 10, 20, 30 e 40, che rappresentano i piani di un grattacielo, in modo tale che in ogni riga e in ogni colonna i numeri siano tutti diversi.
I numeri all’esterno dello schema indicano quanti grattacieli di una riga o di una colonna si possono vedere da quel punto, considerando che i grattacieli più alti nascondono quelli più
bassi.

gioco grattacieli

Indicare, nell’ordine da sinistra a destra, i quattro numeri della terza riga.

Bravo chi riesce!Sorriso

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martedì 20 marzo 2012

Esprimi mediante polinomi ...

 o terza,

ancora un problema. Uno solo!

a) Esprimi mediante polinomi le misure A1 e A2 delle aree dei trapezi rettangoli T1 e T2 della figura.
b) Calcola A1+A2 e A1-A2 e verifica con considerazioni geometriche i risultati ottenuti.

Aree in lettere

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lunedì 19 marzo 2012

Varie...

Ragazzi,

terza, dovete! Seconda, potete pure!

Quesiti ...vari

N°1

Terza: ricordando il secondo degli ultimi problemi con polinomi...

quesito1

Attenzione: i ragazzi di terza devono motivare la risposta partendo dal binomio che esprime un numero dispari, sommandone tre consecutivi e riducendo ...

N°2

quesito2

N°3

quesito3

Buona risoluzione!

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lunedì 12 marzo 2012

Ruota il cerchio e...

Ragazzi,

(per la III nulla di nuovo ma per la II, sì!)

Letto l’ultimo post di Maestra Rosalba, mi sono divertita a riprodurre una bella animazione segnalata in Rete.

Quante volte è contenuto il diametro nella relativa circonferenza?

Scoprire sull’applet. Clic.

Pi

grazie a dhabecker !

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FLATlandia - Problema di Marzo 2012

Ragazzi (III)

è stato pubblicato il problema di Marzo.

Calmi, anche stavolta sarà un’occasione per imparare ....!

Flatlandia. problema 03-12

Intanto, la costruzione:

Flatlandia 03-12

Chi vuole, cominci a pensare.... Sorriso

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sabato 10 marzo 2012

Problemi con polinomi

III,

ora con i polinomi!

1. Determina, esprimendole con un polinomio ridotto, la misura dell’area e quella del perimetro del rettangolo formato da tre rettangoli di basi rispettivamente di misura $ 2x, \;  \frac{1}{2} x, \;  3y$ e aventi l’altezza di misura $ 2y+ 3x$

rettangolo x y

2. Dato un numero z, intero dispari, determina la somma di tale numero con l’intero dispari che lo precede e con l’intero pari successivo.

In modo analogo, dato un numero y, intero pari, calcola la somma di tale numero con il suo triplo e con l’intero pari successivo.

I risultati ottenuti rappresentano numeri pari o dispari?

3. In un garage il numero degli scooter supera di 7 quello delle automobili e le biciclette sono la metà degli scooter.

Indica con x il numero delle automobili ed esprimi con un polinomio ridotto il numero delle ruote presenti nel garage.

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giovedì 8 marzo 2012

Soluzione ‘dimostrazione guidata’

Letizia e Gabriele

hanno risposto sull’applet ai quesiti sulla dimostrazione del problema, dall’archivio di FLATlandia. Clic

problema Flatlandia

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Costruisco la bisettrice di un angolo

... con riga e compasso.

Giovanni e Davide D. mostrano come si fa. Utilizzando GeoGebra (ma non lo strumento primitivo “bisettrice” !)

Sull’applet si possono seguire i passi della costruzione. Clic

image

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sabato 3 marzo 2012

Soluzione FLATlandia feb ‘12

Ecco la nostra soluzione

del Problema di Febbraio.

E’ quella di Letizia (III) su Geogebra. Anche Gabriele ha risolto ma ha meno pazienza per le chiare spiegazioni !

Clic su img

Flatlandia Febbraio12

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