mercoledì 29 febbraio 2012

Costruzione e dimostrazione

Per la III

Ebbene, bisogna imparare e,

ho creato un geogebra con la dimostrazione guidata della seconda parte del problema affrontato stamane. Siete stati bravi nel tracciare la tangente richiesta, abbiamo appena avviato le altre dimostrazioni, qualche difficoltà si presenta e così ho deciso di guidarvi per le conclusioni.

Sull’applet seguite passo a passo la costruzione: dovete rispondere alle domande–guida man mano avanzate con lo slider.

Riporto il problema.

Presi tre punti allineati A, B, C (AB < AC) tracciare in uno stesso semipiano le semicirconferenze di diametro AB e AC.
a) Detto D il punto medio di BC, costruire la retta per D tangente alla semicirconferenza di diametro AB. Sia E il punto di contatto.
b) Detto F il punto in cui la retta AE incontra la semicirconferenza di diametro AC, determinare la natura dei triangoli EDF e ADF.

Clic sull’immagine. Potrete anche scaricare il file.

Problema flatlandia

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giovedì 23 febbraio 2012

FLATlandia - Problema di Febbraio 2012

Ragazzi (III)

nell’attesa della vostra relazione-risposta al Problema di Gennaio (avevo indirizzato, provvisoriamente, alla seconda, voi sapete il perché...) discusso in classe e che molto ci ha fatto imparare ... ,

come anticipato, eccovi il Problema di Febbraio.

Sia O il centro del quadrato BCDE costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC (retto in A).

FALTlandia 02/12

a) Dimostrare che AO biseca l’angolo BAC.
b) Prolungato il lato AB, dalla parte di B, di un segmento BF congruente ad AC, provare che ACEF è un trapezio.
c) Come deve essere scelto il triangolo rettangolo ABC affinché il trapezio suddetto sia equivalente al quadrato?

Ehi, saremmo in tempo per inviare la soluzione! Occhiolino Entro il 27 febbraio 2012.

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mercoledì 22 febbraio 2012

In parti uguali? E altro...

Ragazzi, tutti.

Ancora due esercizi ... ricreativi!

quadrato in parti ugualiEsercizio n. 1 – In parti uguali?

Un quadrato ABCD di lato 10 cm è tagliato in 5 triangoli secondo l’indicazione in figura.

Si può segnare un punto E sul segmento AB e un punto F all'interno del trapezio BCDE in modo tale che i 5 triangoli AED, EBF, BCF, CDF e DEF abbiano la stessa area?

Motivate la risposta.

Esercizio n. 2 - Mappa

La seguente piantina rappresenta una porzione di territorio urbano; le aree tratteggiate corrispondono ad aree coperte da
fabbricati.
Tra queste aree passa una via di comunicazione.
La parte non tratteggiata e non interessata dalla strada è costituita da zona verde. (potete cliccare per ingrandire, se occorre)

mappa
Determinate il rapporto tra area costruita (tratteggiata) ed area totale. Motivate la risposta.
Attenzione! Nell’area costruita è compresa anche quella occupata dalla strada.

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lunedì 20 febbraio 2012

Costruzione della perpendicolare all’estremità di un segmento

Con riga e compasso

Ragazzi, ho preparato un filmato perché possiate avere a disposizione la costruzione della retta (o semiretta) perpendicolare ad un segmento, per uno dei suoi estremi, utilizzando riga e compasso.

Io ho lavorato su GeoGebra. Per simulare l’utilizzo degli strumenti materiali, ovviamente non ho utilizzato quelli forniti dal software! Là dove vedete costruite le circonferenze, mediante compasso sarà sufficiente tracciare degli archi, in maniera tale da ottenere i punti di intersezione indicati.

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mercoledì 15 febbraio 2012

Soluzione FLATlandia gen ‘12 [Aggiornato]

Pubblico

la soluzione del quesito data da Beatrice, su GeoGebra.

Clic per aprire l’applet

soluz Flatlandia gen'12

Davide D. risolve, ma non spiega. Mi è piaciuta la sua idea di ricomporre le quattro figure, a formare il quadrato, con la traslazione. La vediamo in figura.

soluz Flatlandia gen'12

Aggiorno il post con la soluzione del primo quesito del problema, discussa nella classe III. Relazionano Maria Chiara e Letizia

Dopo le soluzioni dei ragazzi di seconda, ecco che arriva anche la nostra.

Come vuole la prof abbiamo lavorato non più secondo l’intuizione, ma dando una spiegazione ad ogni conclusione: *dimostrare* !

1) Trovare le misure incognite dei lati dei triangoli e del pentagono su riportato.

Iniziamo con le misure più facili da trovare.

soluz Flatlandia gen'12

CH = CB-HB = DA-HB = 9-3 = 6

In quanto CB è uguale a DA poiché sono lati paralleli, quindi congruenti, dello stesso rettangolo

DE = DF+FE = 5+10 = 15

Avendo così la misura di DA e DE che costituiscono cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo possiamo trovare AE :

$AE = \sqrt{DE^2-DA^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$

Ancora osserviamo:

DG = EB in quanto AE = GC e AB = CD

Ora però viene la parte più complicata, dove bisogna utilizzare concetti studiati precedentemente:

come facciamo a trovare DG?

Sappiamo solo che esso è uguale a EB ma essendo anche questo incognita non può esserci d’aiuto così la prof ci invita a focalizzare la nostra attenzione sui triangoli DAE, retto in A, e DGF, retto in G.

Dopo un minutino di silenzio ecco che Erica interviene aprendo la strada a tutti con un’osservazione molto acuta e utile per arrivare ad una soluzione. Riporto qui sotto:

< il triangolo DGF è ⅓ di DEA>; infatti la misura del lato DF (5) e la misura del lato DE(15) sono in rapporto 1:3.

Bene ma, l’affermazione di Erica, dice la prof, non è sufficiente a stabilire che "il triangolo DGF è ⅓ di DEA" . Continuiamo quindi a "studiare" i due triangoli.

Essi possiedono un angolo retto in quanto sono dei triangoli rettangoli, ma abbiamo notato che hanno anche un secondo angolo uguale, ecco il disegno qui sotto:

soluz Flatlandia gen'12

Gli angoli segnati in verde sono uguali perché alterni interni: prolungando i lati AB e DC da entrambi i vertici avremmo le rette parallele, la trasversale è data dal prolungamento del segmento DE da entrambi gli estremi.

Ora possiamo dire che se hanno 2 angoli uguali anche il terzo sarà uguale in quanto la somma degli angoli interni di tutti i triangoli è di 180°.

Adesso abbiamo tutte le condizioni per poter affermare che i due triangoli (DAE e DGF) sono simili secondo il primo criterio di similitudine: due triangoli sono simili quando gli angoli corrispondenti sono congruenti, ma in questo caso potremmo anche dire “due triangoli rettangoli sono simili quando hanno uno dei due angoli acuti congruente”.

Quindi i loro lati sono in proporzione. Perciò possiamo scrivere:

DG : AE = DF : DE

DG : 12 = 5 : 15

DG = 12*5/15 = 4

Una volta trovata la misura di DG (e anche di EB) possiamo trovare con il teorema di Pitagora anche i lati HE e GF:

$HE=\sqrt{EB^2+HB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

$GF=\sqrt{DF^2-DG^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$

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Flatlandia - Michele Emmer pt. 1/3

Ragazzi,

il video di cui vi ho parlato stamane.

Cortometraggio di animazione, realizzato dal prof Michele Emmer,  tratto dall'omonimo libro di Edwin A. Abbot. Musiche di Ennio Morricone.

Come detto, dovete aprire su YouTube, da cui potete vedere, quando volete, cliccando sul pulsante “3 video”, le parti 2 e 3.

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lunedì 13 febbraio 2012

FLATlandia - Problema di Gennaio 2012

Ragazzi, tutti,

nuove attività! E ... ne parliamo.

Questa è per la II.

"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo"

è il suggerimento che Edwin A. Abbott dà al lettore che affronta il primo capitolo del libro Flatlandia, pubblicato nel 1882 e ben presto diventato un classico della letteratura fantastica. Narra le avventure di un quadrato che dal suo universo bidimensionale intraprende un viaggio verso le altre dimensioni.

FLATlandia è un mondo fantastico, una terra bidimensionale abitata da individui totalmente piatti, le figure geometriche, immaginata da Abbott, reverendo e insegnante di matematica (Londra 1838 - 1926).

FLATlandia è un'attività continuate a leggere

Ed ecco il problema del mese di Gennaio ‘12, che vi invito a risolvere, o voi della seconda!

- Un rettangolo è suddiviso in tre triangoli e in un pentagono come mostrato in figura, dove sono anche indicate le lunghezze di alcuni segmenti.

rettangolo suddiviso in triangoli e pentagono

1) Trovare le misure incognite di tutti i lati dei triangoli e del pentagono suddetti.

2) Trovare la misura del lato del quadrato equivalente al rettangolo dato e costruire tale quadrato con riga e compasso. (ok, a casa potete lavorare su GeoGebra, in classe con riga e compasso. –Portare!)

3) Verificare che è possibile ricomporre i quattro “pezzi” che formano il rettangolo iniziale in modo da ottenere il quadrato di cui al punto 2.

Motivare le risposte.

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Poster "Storia della Matematica"

Ragazzi,

Vi propongo un bellissimo poster da stampare con le principali scoperte in campo matematico nel succedersi degli eventi storici più importanti del mondo occidentale: dal 3000 A.C. al 2000 D.C.

Particolare importanza nel cartellone assumono alcuni loghi, sistemati a fianco di date importanti dal punto di vista matematico. Obiettivo di questi loghi è quello di far capire al lettore come importanti scoperte  matematiche siano intimamente connesse ad evoluzioni del pensiero umano in diversi campi, quali ad esempio: la musica, l'astronomia, la fisica, la chimica, l'informatica, la teoria della scienza delle telecomunicazioni, la statistica, ... eccetera.

Anna Maria Arpinati 

(gruppo di lavoro IRRE - E.R.
Istituto Regionale di Ricerca Educativa dell’Emilia-Romagna)

Cliccate sull’immagine per aprire la pagina da cui potete scaricare il poster

poster Storia della Matematica

Il poster è stato diviso in sette pagine da stampare su foglio standard (A4, A3, A2) e da affiancare per ottenere lo striscione originale.

Chi lo porta per appenderlo in classe?

- Saremo costretti a stampare in A4, si potrà ingrandire a scuola anche se si perde, purtroppo, il colore.

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sabato 11 febbraio 2012

esercizietto!

ciao raga,

Un esercizietto al volo!

Inserite nelle celle vuote le cifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e trovate i numeri che, sottratti, diano per differenza il numero: 33 333

trova i numeri da sottrarre

a presto per altro ... Sorriso

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mercoledì 8 febbraio 2012

Ma l'oro dov'è? etc...

O tutti,

1° problemino

Vediamo come ve la cavate con la logica.

Ma l'oro dov'è?

Un tesoro è costituito da cinque lingotti, ognuno d’un metallo differente: oro, argento, platino, bronzo e nichel.
Ogni baule contiene un lingotto. Su ogni baule sono impressi un numero e un’affermazione.
Solo l’affermazione scritta sul baule contenente l’oro è vera. Tutte le altre affermazioni sono false.

Potete cliccare per ingrandire

bauli

Determinate il contenuto di ognuno dei cinque bauli.

2° problemino

Se preferite ritagli o costruzioni ...

Dal quadrato al triangolo

Si prenda un quadrato di lato 5 cm.
Si cerchi di tagliare questo quadrato in tre parti in modo che assemblandole si possa costruire un triangolo isoscele.

Proponete due modalità di tagli corrispondenti a due triangoli isosceli differenti.

ritaglio

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lunedì 6 febbraio 2012

Ripassate Francese e Inglese!

Ragazzi, tutti!

Troppi giorni di vacanza. Rischiate di dimenticare matematica e ... lingue straniere! Allora, proposta:

risolvete questo problemino nelle lingue straniere studiate! Avete a disposizione le due versioni: in lingua francese e in lingua inglese.

Date la risposta nella lingua che preferite. Sì, sì, dovete rispondere in lingua! (Non preoccupatevi per la prof che non sa l’inglese. In qualche maniera se la cava, eh eh...)

Al massimo volume

image1. Nous avons à disposition un rouleau de 3,50 m. de filet en plastique, de hauteur 70 cm, avec lequel nous voulons construire un récipient sans couvercle pour le ramassage des feuilles du jardin.
On n’a pas encore décidé si on va faire un récipient à base ronde ou pas. Nous voulons obtenir le volume maximal avec le moindre gaspillage de matériau.
Voulez-vous nous aider à résoudre ce problème?

2. As a roll of plastic mesh 3.50 m. long and 70 cm high is available, we would like to build a composter without lid to fill with dead leaves.
We have not decided what shape the base will be like, maybe round. We want to maximize the volume employing the least plastic material.
Would you please help us solve this problem?

Questo esercizio vale ... un sacco di punti! Sorriso

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sabato 4 febbraio 2012

La chat

Per tutti!

e per non annoiarvi! Sorriso

Problemino.

La chat

Mark (da Sydney, Australia) e Hans (da Berlino, Germania) per poter chattare in internet, l’uno con l’altro, devono essere contemporaneamente collegati. Nella figura sono riportate le ore locali: quando a Greenwich è mezzanotte, a Berlino è l’una di notte e a Sydney sono le dieci del mattino.

ore locali Gr., Berlino e Sydney

Mark e Hans non possono chattare durante il giorno dalle ore 9:00 alle 16:30 ora locale, perché sono a scuola e nemmeno tra le 23:00 e le 7:00 ora locale, perché stanno dormendo.

In quali fasce orarie possono chattare Mark e Hans?

Dal libro: Giochi per la mente, Fabio Ciuffoli

Se avete necessità potete aiutarvi con questo orologio analogico. Potete spostare la lancetta delle ore e dei minuti e vedere l'ora anche sull’orologio digitale.

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Foto neve, ma sì!

Bea,

me ne invia per ora 2!

pineta con neve

ancora pineta cn neve 2012

Due foto da Davide D.

ghiaccioli

neve

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venerdì 3 febbraio 2012

Un lavoretto per la II !

Ehi, voi,

che giocate sulla neve ... e basta! 

Ok, ok, aspetto le foto. Ma provate anche a risolvere un simpatico giochino. Lo farete sull’applet GeoGebra.

Ampolle in eredità

Un padre lascia in eredità ai suoi 3 figli 9 ampolle di vetro, delle quali 5 piene d’olio (pregiato!), 1 piena a metà e le altre 3 vuote.

Dividere le ampolle e l’olio in modo che ciascun figlio abbia la stessa quantità di olio e di ampolle.

Adattato da: Giochi per la mente, Fabio Ciuffoli

Il numero di ampolle per figlio è facile, 3 ampolle per ciascuno. Perciò in figura vedete già la suddivisione per figlio. Ciò che dovete fare è distribuire l’olio nelle ampolle in maniera tale che la quantità sia uguale per ciascun figlio.

Esiste una sola soluzione?

Provate sull’applet. Avrete gli slider (s)... e anche il riscontro! Clic su figura.

ampolle

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Ancora un problema sulla piramide

Di Gabriele

Sull’applet risoluzione passo a passo. Clic su imgPiramide60°dati problema

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giovedì 2 febbraio 2012

Neve e problema con sistemi!

Ragaa?

DSC_0066

E voi, siete stati in pineta? Se no, stateci! e inviatemi le foto! Sorriso

Maa, per non rischiare ruggine ... mentale, darsi da fare. Anche!

Un bel problemino (è per la III)

La piramide e i numeri consecutivi

piramide_abc

Nella piramide in figura, l’altezza (a), ciascun lato del quadrato di base (b) e ciascuno degli spigoli laterali (c), devono essere numeri interi consecutivi. In altri termini: b = a+1; c = b+1

Calcolare la terna di numeri a, b e c.

Dal libro: Giochi per la mente, Fabio Ciuffoli

Sull’applet GeoGebra la guida alla risoluzione.

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mercoledì 1 febbraio 2012

Utilizzando informazioni...

Un problema

risolto da Giovanni (II)

Questa la figura:

dodecagono

Conosciamo il lato dell'esagono regolare: 10 cm;

sui lati dell'esagono sono costruiti dei quadrati;

Dobbiamo trovare l'area del dodecagono regolare costruito unendo i vertici consecutivi dei quadrati.

La soluzione sull’applet GeoGebra (ho aiutato Giovanni nella scrittura delle formule. Ragazzi, di testi e LaTex dobbiamo parlare, faticate a “far da voi”!)

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