lunedì 29 novembre 2010

I compiti con geogebra

Ormai con Geogebra

ci divertiamo anche a fare i compiti!

Bea, Marco D. , ...altri? (bè, se scordo ditemelo, è da qualche giorno fa...) hanno eseguito un altro esercizio dal libro di testo.

L’immagine è tratta dal lavoro di Beatrice, ho dovuto aggiustare qualcosina... Bea, compito continua: devi scaricare il lavoro e riferirmi cosa ho modificato! Anche gli altri, osservino attentamente la costruzione [Mostra-nascondi oggetto]

Clic su immagine, poi doppio clic su applet per salvare sul proprio pc.

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domenica 28 novembre 2010

La proprietà invariantiva in Excel

Marco D. e Davide D.

nel foglio di calcolo hanno dimostrato la proprietà invariantiva della sottrazione e della divisione.

Ragazzi, vedete la modifica che ho apportato all’organizzazione dei vostri fogli:

il valore da sottrarre o aggiungere e per il quale moltiplicare o dividere rispettivamente nelle due operazioni, va digitato in una sola cella a parte (F5 e F13 nell’immagine). In tal modo possiamo scrivere le formule solo una volta e trascinare-copiare lungo le colonne o lungo le righe.

Le formule: osservate attentamente, nella barra della formula, quella immessa in cella A6:

quei 2 simboli dollaro si inseriscono selezionando nella formula la parte F5 e premendo il tasto F4 nella tastiera;

servono per tenere fisso il riferimento della cella. In questo caso, quando trascino orizzontalmente la formula scritta in A6, in B6 essa diventa: image. Io devo aggiungere sia a A5, sia a B5 lo stesso valore, quello in F5: dunque nella formula trascinata in orizzontale, A5 diventa B5, ma F5 rimane fisso! Comodo, no?

In proposito, per il linguaggio più specifico e qualche approfondimento, potete vedere QUESTO (oppure ne parliamo ..)

Chi vuole può scaricare il file cliccando sull’immagine. Io metto on line la versione 2003, chi ha la più recente non avrà problemi. Chi non ha Excel dovrebbe avere sufficienti indicazioni per lavorare su Calc. (o no??)

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Lo 0 e l’1 nelle 4 operazioni

Quasi tutti i ragazzi della prima
hanno fatto la relazione sul comportamento dello zero e dell'uno nelle 4 operazioni fondamentali. Bene, tutti!
Marco N. ha riportato la sua in una presentazione Power Point

Marco, bene!

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sabato 27 novembre 2010

Math Baseball

Ragazzi (I)

lo so, devo segnalarvi dell’altro ... (ma potete anche trovare da voi: numeri rettangolari da ETICHETTE sulla barra a destra)

Nell’attesa, vedete di farvi ancora qualche partita a colpi di ... calcoli esatti! Stavolta non avrete alcun lupo alle calcagna! Sorriso

Clic sull’immagine e Maestro Roberto vi spiegherà dove andare e cosa fare!

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venerdì 26 novembre 2010

Somma di numeri pari

Stefano e Marco D. (I)

raccontano l’attività...

Siamo partiti da un esercizio del libro: calcola la somma dei primi 4 numeri pari qui segnati con dei puntini, ricordandoti la formula per trovare l’area del trapezio.

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Ci siamo ricordati subito come si trova l’area del trapezio:

((B+b) x h) : 2

Così abbiamo fatto:

((2+8) x 4) : 2 = 20

In seguito il libro chiedeva di utilizzare lo stesso procedimento con i primi 10 numeri pari. Quindi (per questi non mi fanno la figura!):

((2+20) x 10) : 2 = 110

Dopodiché la prof. ci ha chiesto di farlo con i primi 17 numeri pari, però senza il disegno, scrivendo una regola. Prima abbiamo (Stefano) scritto:

((2+n°) * tot.num) : 2

Il contenuto era giusto, ma non era espresso bene, così abbiamo spiegato che “”, era dato da: tot. num. x 2 perché i numeri pari vanno di 2 in 2.

E quindi si può scrivere:

((2+tot. num. * 2) * tot.num) : 2

La professoressa ci ha chiesto se ricordavamo come i matematici generalizzano in modo più sintetico. Ci siamo ricordati (Marco D.) che questo si fa con le lettere, così abbiamo indicato il tot.num. con la lettera n.

Da lì nasce la regola per trovare la somma di n qualsiasi numeri pari:

((2 + n * 2) * n) : 2

Marco D. ci fa vedere come possiamo far eseguire i calcoli ad Excel. La formula in cella A3, si osservi la barra della formula, va copiata lungo la colonna A

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Bene, ragazzi.

Vi propongo ora di semplificare quella formul(ona)!

Si può fare aritmeticamente – Stefano ha tentato, si è avvicinato...

Ma dovreste poterlo fare correttamente (non si è vista una certa proprietà della moltiplicazione, rispetto a ...? Pensateci!).

Vi propongo di farlo, forse è più semplice, geometricamente, così come avete fatto per trovare la regola stessa. Con Geogebra va benissimo!

Osservate con attenzione ciò che succede nei 3 esperimenti (sono sufficienti?) e quindi scrivete la formula generale (quindi con lettera!) semplificata.

Clic sull’immagine. Potete con il doppio clic sull’applet, scaricare il file .ggb.

imageil trapezio è rettangolo!

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giovedì 25 novembre 2010

Da quadrato a rombo: somma diagonali

Beatrice ha realizzato

su Geogebra un esercizio proposto dal libro di testo.

Si tratta di studiare la somma delle diagonali nel passaggio dal quadrato al rombo.

Diversamente da quanto succede alla somma degli angoli ...

Bea dimostra con il testo dinamico! Clic sull’immagine.

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martedì 23 novembre 2010

[Tutoriali] Testo dinamico con Geogebra

Ragazzi,

come promesso (ai ragazzi della I, ma utile anche per la II), eccovi la scheda-guida per la creazione di un testo dinamico su Geogebra.

Fate clic sull’immagine per scaricare il PDF. Stampate e... qualcuno potrà utilizzare subito per concludere un lavoro! -vero, Bea?Sorriso

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E qui il file .ggb d’esempio (un doppio clic sull’applet per aprire la finestra dell’applicazione e, se si vuole, salvare il file)

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lunedì 22 novembre 2010

Numeri poligonali

Marco N. ha cominciato

a costruire i numeri poligonali su geogebra

I numeri quadrati. Clic per vedere l’animazione

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La sacra decade. Clic..

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Bravo Marco!

Ragazzi,

abbiamo tanto materiale sui numeri poligonali. Per trovare facilmente, fate clic sul titolo di questo post. La pagina si ricarica mostrando il solo post e sotto,

Articoli correlati per categorie

vedrete diversi link per la categoria “Numeri poligonali”.

  - In particolare raccomando un lavoro, delle interessantissime indagini sulla moltiplicazione. Clic sul link che segue (leggete attentamente: aggiornamento 03/09/2005),  nella pagina che si apre trovate le indicazioni per scaricare.

Presentazione su Power Point (aggiornamento del 03/09/2005).

Questa un’immagine:

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venerdì 19 novembre 2010

Più veloci nel calcolo!

E sì, eh...

qualcuno ha bisogno di allenamento!

Andate a giocare a lupo e lepre, va’. Potete scegliere la velocità, il numero di cifre delle operazioni, una o due cifre, il tipo di operazione ...

Cliccate su immagine sotto.

Mi dovete riferire poi com’è andata!

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sabato 13 novembre 2010

Somma angoli interni di un quadrilatero

E' stata la nostra attività di stamane in prima.

Sul libro di testo si risolveva un esercizio:

Si può facilmente capire che nel quadrato la somma degli angoli è: 90° * 4 = 360°

Aiutandoti con il quadrato articolabile costruito con le sbarrette ...

sapresti spiegare perché la somma dei 4 angoli del rombo rimane sempre di 360° ?

Non è stato difficile per i giovini dare la risposta: due angoli via via rimpiccioliscono diventando acuti e gli altri due aumentano di ampiezza diventando ottusi.

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Poi nel caso limite, quando il quadrato si schiaccia completamente, gli angoli opposti diventano:

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due di gradi e due di 180° !

Ma si sa, una domanda ne chiama un’altra  e allora ...

Come possiamo dimostrare che la somma degli angoli di un quadrilatero qualsiasi è di 360° ?

Stavolta però senza ... articolare il quadrilatero!

Dunque:

- invito a disegnare sul foglio un quadrilatero qualsiasi, anche irregolarissimo!

- Suggerimenti:

  1. potreste servirvi di un semplice tratto di matita;
  2. potreste ritagliare il quadrilatero e ... vedete un po’ voi.

Tutti al lavoro, disegno dei quadrilateri

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noto subito la preferenza al ritaglio delle figure.

I quadrilateri vengono girati e rigirati fra le mani... qualcuno prova a fare delle piegature ma la figura si complica troppo.

Qualcuno, nonostante il ritaglio, disegna sul quaderno un angolo giro formato, approssimativamente dagli angoli del quadrilatero. Approssimativamente, appunto, ma questa non è una dimostrazione!

Qualcuno chiede se si può usare il goniometro. E no! Sorriso

Devo suggerire che ... mica avete in mano un foglio d’oro, è solo un pezzo di carta, che sarà mai!

Com’è come non è, non so se per via del suggerimento ... Beatrice per prima mi chiama e sul suo banco mi fa notare gli angoli del quadrilatero ritagliati e uniti in un unico vertice. Formano un angolo giro!

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Subito dopo Davì, ritaglia e unisce, giunge alla stessa conclusione.

Bè, non si ha più paura di rovinare il quadrilatero e: tutti si ritaglia e si verifica che è così!

Le immagini riportate sono un mio schema. Ciò che invece noto nei lavori dei ragazzi è invece la tendenza a ritagliare gli angoli il più vicino possibile al vertice. A mala pena riescono ad unire i vertici!

Eh, abbastanza normale: è l’idea di angolo ...

Ciononostante alla domanda: ma, qual è l’angolo? Quale porzione di quadrilatero ...? Qualcuno risponde: “tutto”.

Mah, decidiamo di approfondire in un secondo momento.

Intanto voglio ritornare al primo dei miei suggerimenti: il semplice tratto di matita. – La procedura vi suggerirebbe inoltre come trovare la somma degli angoli di qualsiasi poligono!

E’ il caso di lavorare collettivamente. Disegno alla lavagna un quadrilatero.

- Su, che mi fate tracciare con il gesso??

Salvatore suggerisce: traccio il segmento AC (A e C sono i due vertici opposti). Davì mi aiuta a ricordare che è una diagonale!

- E ora?

Tutto tace... per qualche istante.

Marco N. in maniera non troppo chiara (Marco, non riesco a ricordare le tue esatte parole!) fa capire che ora ci sono due triangoli! (avrà detto proprio così? Sorriso)

E, io mi aspetto un coro di interventi e ... succede niente! Attimi di riflessione ... – Sfruttate le osservazioni dei vostri compagni ... Poi,

Stefano: la somma degli angoli di ogni triangolo è di 180°, abbiamo 2 triangoli, quindi fa 360° .

Oh, benissimo!  E, un tacito “ooh” anche da parte dei ragazzi!

Estendiamo velocemente il procedimento ad un ottagono irregolare:

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somma angoli: 180° * 6

Stavolta l’oh si percepisce in maniera più sensibile. E, quando i bambini fanno ooh .... Sorriso

- Ragazzi, il link a L’angolo, che non abbiamo fatto in tempo a vedere. [Ci si attrezza con i PC portatili da casa ... oggi già ne avevamo due! Bravi genitori, grazie!]

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Con l’esagono regolare...

Andrea F. (I)

ha costruito correttamente con Geogebra e ha verificato il problema...

Questa l’immagine del lavoro di Andrea

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Abbiamo commentato:

l’esagono è suddiviso in 6 triangoli equilateri, i punti S, K, R (e così per gli altri triangoli equilateri), sono i punti medi dei lati di questi triangoli equilateri, quindi SK= KR = AK e ecco perché:

SK + KR = AB

- Beatrice mi ha appena inviato il suo lavoro, aggiungo l’immagine:

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Andrea, Bea – e gli altri! – devono ora completare questo problema... 

Ragazzi, attendooo! Sorriso

Aggiungo, sempre di Andrea, che intitola e firma, una bella immagine per la matematica

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Ancora una bella immagine la scacchiera di Beatrice. Eheh... non poteva non costruirla: Bea è una bravissima campionessa di scacchi!

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mercoledì 10 novembre 2010

Il problema della pavimentazione

I ragazzi della prima,

hanno lavorato al problema della pavimentazione, nato dal lavoro di Daniele sul mosaico a ottagoni regolari.

Marco D. su Geogebra ha costruito i possibili pavimenti con mattonelle dalla forma di poligoni regolari diversi. Copio qui le immagini.

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Marco, nel lavoro individua i possibili poligoni regolari ma non spiega il perché succeda questo, la condizione geometrica.

Stefano, Beatrice, Davì costruiscono altri mosaici con quadrati e esagoni ma non commentano le costruzioni.

Davide D., nella costruzione commenta...

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Dunque, in classe siamo partiti dall’osservazione di Davide: per i gradi degli angoli.

Abbiamo analizzato le pavimentazioni possibili osservando il numero di piastrelle riunite in ogni vertice:

con il triangolo equilatero si incontrano 6 piastrelle

con il quadrato le piastrelle sono 4

con l’esagono regolare si incontrano 3 piastrelle

A questo punto Davide osserva che le piastrelle incontrandosi nei vertici formano sempre un angolo di 360°, un angolo giro.

E che quindi gli angoli dei poligoni regolari che “pavimentano” sono una frazione dell’angolo giro.

Insomma, abbiamo concluso che:

la condizione per poter ricoprire una superficie piana con dei poligoni regolari è che l'angolo interno di ogni poligono sia sottomultiplo di un angolo giro.

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lunedì 8 novembre 2010

Aritmetica del pari e del dispari

Sintesi delle relazioni di Stefano, Marco D. e Beatrice, della prima.

Contando anche pochi numeri naturali (compreso lo zero)

0, 1, 2, 3, 4, ...

possiamo notare che nell’insieme dei numeri naturali ci sono 2 sottoinsiemi: quello dei numeri pari e quello dei numeri dispari.

Rappresentando l’insieme N (insieme dei numeri naturali) con il diagramma di Eulero-Venn

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Si dice che i numeri pari e i numeri dispari sono una partizione dell'insieme N.

I numeri pari sono quelli che divisi per 2 danno come resto zero mentre quelli dispari sono quelli che divisi per 2 danno resto 1.

I numeri pari come i numeri dispari SONO INFINITI.

Abbiamo notato che

P+P=P : se in un numero pari disponiamo a coppie le unità, non restano unità libere, quindi addizionando due numeri pari, non restano ancora unità libere.

D+D=P : perché se uniamo le unità libere dei due numeri dispari formano una coppia, quindi risultato pari.

D+P=D : perché infatti se disponiamo a coppie le unità del numero dispari, una rimane libera, nel numero pari invece no, quindi se uniamo i due numeri, una unità rimane libera, quindi numero dispari.

Siccome numero dispari + numero dispari = numero pari, allora vuol dire che l’insieme dei numeri dispari rispetto all'addizione NON E’ CHIUSO.

Invece, numero pari + numero pari = numero pari: vuol dire che l’insieme dei numeri pari rispetto all'addizione E’ CHIUSO.

Rappresentiamo con una tabella l’addizione del pari e dispari

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Questa struttura si può paragonare a certe frasi in italiano.

Esempio:

C’era una ragazza che aveva promesso alla nonna di stare con lei, però era stata invitata ad una festa alla quale sarebbero andati tutti i suoi compagni, così va dalla nonna e glielo dice.

La nonna dice: ”non voglio che tu non vada” = vai

La ragazza risponde: ”non voglio lasciarti sola” = non vado

La nonna replica: ”voglio che tu vada” = vai

La ragazza risponde di nuovo: ”voglio che tu non resti sola” = non vado

In una tabella:

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Pari equivale a SI, dispari equivale a NO.

Ragazzi, siete stati bravi. Avete spiegato bene... Devo dire che vi siete completati: di Bea l’introduzione, di Marco la spiegazione dei risultati dell’addizione e di Stefano le tabelle e il confronto con la grammatica.

Ora andate però a leggere qui sul blog. C’è ancora qualche completamento e ... spunti di lavoro!

L'aritmetica del pari e del dispari: legge additiva

In seguito anche:

L'aritmetica del pari e del dispari: legge moltiplicativa

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domenica 7 novembre 2010

Altre opere: mosaici, ... ! [Aggiornato]

Sempre in tema di pavimenti,

i giovini della prima, ricordati i poligoni regolari e ... GeoGebra che sta per non avere più segreti Sorriso,

realizzano: mosaici ... Questo è di Davide D.

Clic su immagine

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Altre opere si attendono!

Ho intanto le foto degli altri poligoni costruiti con strisce, di Andrea F. Andrea si è costruito da sé anche le strisce su cartoncino. Bravo A!

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Arrivato ora ancora un pavimento triangolare. Quello di Davì. Ma il gusto estetico è diverso! Sorriso Clic!

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Ho appena ricevuto da Daniele, un mosaico-pavimento, perché lui le chiama “mattonelle”,  carino ma... un po’ strano! Guardate, fate pure clic per aprire l’applet ma continuate a leggere sotto...

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Ecco, siete d’accordo che come “pavimento” è un po’ strano? Voi vi fareste mettere in casa delle mattonelle che lasciano dei buchi sul pavimento? Sorriso

Daniele, guarda che il tuo lavoro mi piace molto sai! E’ molto valido anche! Infatti ci permette di porci delle domande. Porsi delle domande ha un grande valore!

Dunque, ragazzi:

Daniele ha costruito un pavimento utilizzando degli ottagoni regolari.

Sopra vediamo le costruzioni di Davì e Davide D, che hanno usato dei triangoli equilateri e i pavimenti sono venuti senza buchi.

Ora dovreste provare a costruire pavimenti con altri poligoni. Suuu!

La domanda è: con quali poligoni si può “pavimentare” senza lasciare spazi vuoti e naturalmente senza mai sovrapporre i poligoni stessi?

Riuscite a scoprire qual è la condizione che permette questo?

Insomma, bravo Daniele!

E, sono sicura, sarete bravi tutti...!

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sabato 6 novembre 2010

Chi precede un quadrato

Stamane in II

abbiamo risolto l’ultimo problema proposto dal prof. Daniele Gouthier :

Ecco la soluzione dei ragazzi (immagine dalla LIM). Collettiva, dopo qualche riflessione per gruppi.

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L’idea di Francesco, scrivere il precedente e il successivo del valore n, sotto la forma (n-1) e (n+1), partendo dai casi particolari, ha aperto poi la strada alla generalizzazione.

Gabri ha scritto la prima relazione, ma scordava le parentesi: errore! Sorriso

Poi però ha scritto bene la relazione generale!

Insomma, non ho avuto necessità di ricordare loro:

Da un numero quadrato sottraggo un numero quadrato

Abbiamo rivisto il lavoro dopo l’esercizio e dopo aver considerato anche che 1 = 1² ...

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